[Algebra] Esercizi per il compito di recupero

Calcolare il M.C.D. e il m.c.m dei seguenti monomi:

$a)\quad-12a^3b^2c^4\;;\qquad 15a^2bc^3\;;\qquad 4abcd$
$b)\quad 3mn^2\;;\qquad 6m^2n\;;\qquad 15mnp^2$
$c)\quad 12a^3b^2c^4\;;\qquad 15a^2b^2c^3\;;\qquad 6ab$

Prima di iniziare richiamiamo qualche concetto di teoria:

Multiplo e divisore di un monomio
Così come per i numeri naturali, anche per i monomi possiamo dare la definizione di multiplo.

Dati due monomi A e B, si dice che A è multiplo di B se esiste un monomio C tale che A=B×C. Il monomio B si dice divisore del monomio A.

Per esempio, il monomio $A=3a^2bc^3$ è multiplo del monomio $B=abc^2$ , perché il monomio A si può ottenere moltiplicando il monomio B per un terzo monomio $C=3ac$ ; infatti: $abc^2 \times 3ac=3a^2bc^3$ .

Massimo comune divisore (M.C.D)
La nozione di massimo comune divisore introdotta con i numeri naturali, può essere estesa ai monomi. Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più monomi non nulli è un monomio così formato:

Il coefficiente è il M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi dati, se tali coefficienti sono tutti interi, altrimenti è 1;
La parte letterale è formata da tutte le lettere comuni ai monomi di partenza, ciascuna presa una sola volta e con esponente uguale al minore degli esponenti con cui essa figura nei monomi dati.
In particolare, il monomio così formato sarà un divisore dei monomi di partenza, e precisamente, sarà quello di grado maggiore.

Minimo comune multiplo (m.c.m)
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più monomi si ottiene in questo modo:
Il coefficiente è il m.c.m. dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi dati, se tali coefficienti sono tutti interi, altrimenti è 1;
La parte letterale è formata da tutte le lettere comuni e non comuni ai monomi di partenza, ciascuna presa una sola volta e con esponente uguale al maggiore degli esponenti con cui essa figura nei monomi dati.
In particolare, il monomio così formato è multiplo di tutti i monomi dati e, tra tutti i multipli dei monomi dati, è quello di grado minore.

Torniamo al nostro esercizio di partenza:

$a)\; \mathbf{M.C.D.}\;:\;\; abc\; ;\quad \mathbf{m.c.m.}\;:\; 60a^3b^2c^4d$
$b)\; \mathbf{M.C.D.}\;:\;\; 3mn\; ;\quad \mathbf{m.c.m.}\;:\; 30m^2n^2p^2$
$c)\; \mathbf{M.C.D.}\;:\;\; 3ab\; ;\quad \mathbf{m.c.m.}\;:\; 60a^3b^2c^4d$

Calcolare la seguente espressione algebrica:

$\frac{3}{4}ax\left(-\frac{1}{9}a^2x^2\right)\left(-9a^2x^2\right)+\frac{5}{2}a^3x\left(-\frac{4}{15}a^2x^4\right)$
$\frac{3}{4}ax\left(-\frac{1}{\not 9}a^2x^2\right)\left(-\not 9a^2x^2\right)+\frac{\not 5}{\not 2}a^3x\left(-\frac{\not 4^2}{\not {15}^3}a^2x^4\right)$
$\frac{3}{4}ax\left(+a^4x^4\right)-\frac{2}{3}a^5x^5$
$\frac{3}{4}a^5x^5-\frac{2}{3}a^5x^5$
$\left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)a^5x^5$
$\left(\frac{9-8}{12}\right)a^5x^5$
$\frac{1}{12}a^5x^5$