Disequazioni irrazionali

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Risolvi graficamente la seguente disequazione irrazionale $\sqrt{x+1}-1\geq x-2$

Risolizione di disequazioni irrazionali con il metodo grafico. Isoliamo la radice a sinistra

$\sqrt{x+1}\geq x-2-1$

$\sqrt{x+1}\geq x-3$

Dai due membri della disequazione ricaviamo due funzioni:

$y=\sqrt{x+1}$ e $y=x-3$

consideriamo la prima funzione e determiniamo il dominio ponendo il radicando maggiore o uguale a 0:

$x+1\geq 0$

$x\geq -1$

Quindi il dominio è l’insieme $D=\{x\in \mathbb{R} |x\geq -1\}$
Dobbiamo quindi eliminare dal grafico i punti che hanno acissa minore di -1 (vedi grafico sotto riportato).

L’equazione sarà equivalente al sistema:

$\begin{cases}y\geq 0 \\y^2=x+1\end{cases}$

$\begin{cases}y\geq 0 \\x=y^2-1\end{cases}$

Calcoliamo le coordinate del vertice V della parabola con asse orizzontale:
$V$-\frac{\Delta}{4a}; \;\;-\frac{b}{2a}$$

dove $\Delta=b^2-4ac=0+4=4$ sostituendo:
$V$-\frac{0+4}{4}; \;\;-\frac{0}{2}$$

$V\(-1; \;\;0)$

troviamo adesso un altro punto per disegnare la parabola:

per y=1 avremo x=0 quindi passerà per A(0; 1)

Consoderiamo ora la seconda funzione y=x-1 che rappresenta una retta.

Calcoliamo due punti per tracciarne il grafico:

per x=1 avremo y=0 quindi passerà per B(1; 0)
per x=3 avremo y=2 quindi passerà per C(3; 2)

Disegniamo il grafico:

Osserviamo nel grafico tracciato che la disequazione iniziale $\sqrt{x+1}\geq x-3$ mette a confronto l’ordinata di un punto della parabola (membro a sinistra) con l’ordinata di un punto della retta (membro a destra) con la stessa ascissa.
Evidenziamo sul grafico la zona in cui i punti della parabola hanno ordinate maggiori o uguali alle ordinate dei punti corrispondenti della retta (figura sopra riportata).
Le ascisse di questi punti sono le soluzioni della disequazione data:
$S=\{x\in \mathbb{R} |-1\leq x\leq 3\}$

skuolablog Febbraio 22, 2015 Algebra, Disequazioni irrazionali Algebra, Matematica No Comments »

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