Parabola e retta

Per quale valore di k la parabola $y=x^2-2x+k-1$ stacca un segmento di misura 3 sulla retta y=2?

Mettiamo a sistema parabola e retta per trovare i punti di intersezione

$\begin{cases}y=x^2-2x+k-1 \\y=2\end{cases}$

Essendo uguali i primi membri (y=y) dovranno esserlo anche i secondi membri del sistema:

$y=x^2-2x+k-1=2$

$y=x^2-2x+k-3=0$ Calcoliamo il delta quarti

$\frac{\Delta}{4}=$\frac{b}{2}$^2-ac$

$\frac{\Delta}{4}=$\frac{-2}{2}$^2-(k-3)$

$1 -k+3=4-k$

Calcoliamo ora le radici che annullano l’equazione:
$x_{1/2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}$

$x_{1/2}=\frac{-\frac{-2}{2}\pm\sqrt{4-k}}{1}$

$x_{1/2}=1 \pm\sqrt{4-k}$

$x_1=1 -\sqrt{4-k}$

$x_2=1 +\sqrt{4-k}$

Poniamo ora la distanza $\overline{x_1 x_2}=3$

$|(1 -\sqrt{4-k})-(1 +\sqrt{4-k})|=3$

$|1 -\sqrt{4-k}-1 -\sqrt{4-k}|=3$

$|-2\sqrt{4-k}|=3$ togliamo il modulo ed eleviamo al quadrato ambo i membri:

$4(4-k)=9$

$16-4k=9$

$4k=16-9$

$k=\frac{7}{4}$

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