[Algebra] Disequazioni frazionarie – Esercizi

Ben ritornati. L’anno scolastico 2013-2014 al mio liceo è iniziato l’11 settembre e la prof. di matematica ha iniziato subito con alcuni esercizi di algebra per il ripasso.

Riporto di seguito lo svolgimento di alcuni di essi:

n. 255 pag. 715

$\frac{5x-1}{4x-2}+\frac{2x+1}{2}>\frac{14x+8}{12x-6}+x$

$\frac{5x-1}{4x-2}+\frac{2x+1}{2}-\frac{2(7x+4)}{3(4x-2}-x>0$

$\frac{30x-6+3(4x-2)(2x+1)-4(7x+4)-6x(4x-2)}{6(4x-2)}>0$

$\frac{30x-6+24x^2-12x+12x-6-28x-16-24x^2+12x}{6(4x-2)}>0$

$\frac{30x-6+\cancel{24x^2}-\cancel{12x}+\cancel{12x}-6-28x-16-\cancel{24x^2}+12x}{6(4x-2)}>0$

$\frac{30x-28x+12x-16-6-6}{6(4x-2)}>0$

$\frac{14x-28}{12(2x-1)}>0$

$\frac{14(x-2)}{12(2x-1)}>0$

$\frac{7(x-2)}{6(2x-1)}>0$

C.E. denominatore diverso da 0 $\2x-1\not=0$ per $x\not=\frac{1}{2}$ (Condizione di Esistenza)

Adesso vediamo quando il numeratore (N) e denominatore (D) sono >0

N > 0 per $x-2>0 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; x>2$

D > 0 per $2x-1>0 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; x>\frac{1}{2}$

Dal grafico si evince che:

per x<1/2 il N<0 e il D<0 e quindi la disequazione N/D>0 risulta soddisfatta;

per 1/2<x<3 il N<0 e il D>0 e quindi la disequazione N/D>0 non risulta soddisfatta;

per x<3 il N>0 e il D>0 e quindi la disequazione N/D>0 risulta soddisfatta;

pertanto la soluzione finale è $x<\frac{1}{2}\;\;\;\vee\;\;\; x>2$

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