Esame di Stato liceo scientifico – Anno 2023 – Quesito 7

Si consideri la funzione:

$\Large f(x)= \begin{cases} -1+\arctan x & \;x<0 \\ ax+b & \;x \ge 0 \end{cases}$

Determinare per quali valori dei parametri reali a, b la funzione è derivabile. Stabilire se esiste un intervallo di ℝ in cui la funzione 𝑓 soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. Motivare la risposta.

Svolgimento:

La funzione 𝑓 (𝑥) è definita in ℝ. L’espressione analitica di ciascun tratto corrisponde a una funzione continua e derivabile in ℝ, e, in particolare, 𝑓 (𝑥) è continua e derivabile negli intervalli ] − ∞; 0[ e ]0; +∞[.

Dobbiamo quindi determinare per quali valori dei parametri 𝑎 e 𝑏 la funzione risulta derivabile anche in 𝑥 = 0. Per farlo possiamo utilizzare il criterio di derivabilità, che necessita però della continuità in 𝑥 = 0. Tale condizione è comunque necessaria, poiché la derivabilità in un punto implica la continuità nello stesso. Affinché 𝑓 (𝑥) sia continua in 𝑥 = 0 deve valere:

$\Large \lim_{x\rightarrow x_0^-}(-1+\arctan x)$

$\Large \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=f(0)$

$\Large \lim_{x\rightarrow 0^-}(-1+\arctan x)=a\cdot 0+b$

$\Large -1+\arctan 0=b\;\rightarrow \;b=-1$

Calcoliamo ora la derivata prima della funzione 𝑓 (𝑥):

$\Large f'(x)= \begin{cases} \frac{1}{1+x^2} & \;se\;x<0 \\ a & \;se\;x > 0 \end{cases}$

Calcoliamo:

$\Large f_-'(0)=\lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{1}{1+x^2}=1$

$\Large f_+'(0)=\lim_{x\rightarrow 0^+}a=a\;,\;a\;\in\;\mathbb{R}$

Possiamo applicare il criterio di derivabilità. Affinché la funzione sia derivabile in 𝑥 = 0 deve valere:

$\Large f_+'(0)=f_-'(0)\;\rightarrow\; a=1$

Sostituiamo i valori dei parametri che abbiamo determinato e troviamo l’espressione analitica della funzione 𝑓 (𝑥) e della sua derivata 𝑓 ′ (𝑥):

$\Large f(x)= \begin{cases} -1+\arctan x & \;x<0 \\ x-1 & \;x \ge 0 \end{cases}$

$\Large f'(x)= \begin{cases} \frac{1}{1+x^2} & \;se\;x<0 \\ 1 & \;se\;x \ge 0 \end{cases}$

Osserviamo che 𝑓 ′ (𝑥) > 0 per ogni 𝑥 ∈ ℝ, quindi la funzione è sempre crescente. Ricordiamo quali sono le ipotesi che una funzione 𝑔(𝑥) deve soddisfare per il teorema di Rolle in un intervallo [𝑎; 𝑏] di ℝ. Deve valere che:

𝑔(𝑥) è continua in [𝑎; 𝑏];
𝑔(𝑥) è derivabile in ]𝑎; 𝑏[;
𝑔(𝑎) = 𝑔(𝑏).

La funzione 𝑓 (𝑥) soddisfa le prime due ipotesi, ma poiché la funzione è sempre crescente la terza ipotesi non può essere soddisfatta in nessun intervallo [𝑎; 𝑏], poiché varrà sempre 𝑓 (𝑏) > 𝑓 (𝑎).

Quindi non esiste un intervallo di ℝ che soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle.

skuolablog Giugno 23, 2023 Algebra, Matematica No Comments »

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