Esame di Stato liceo scientifico – Anno 2023 – Quesito 8

Data la funzione $\Large f_a(x)=x^5-5ax+a$ , definita nell’insieme dei numeri reali, stabilire per quali valori del parametro 𝑎 > 0 la funzione possiede tre zeri reali distinti.

Svolgimento:

Abbiamo la funzione $\Large f_a(x)=x^5-5ax+a$ che è polinomiale, quindi ha come dominio ℝ ed è continua e derivabile in ℝ per qualunque 𝑎 > 0.

Deriviamo la funzione ottenendo:

$\Large f_a'(x)=5x^4-5a$

Ora studiamo il segno della derivata prima: $\Large f_a'(x)\geq 0$

$\Large 5x^4-5a\geq 0$

Dividiamo ambo i membri per 5 ottenendo:

$\Large x^4-a\geq 0$

poiché dal testo del problema sappiamo che a > 0 possiamo applicare la proprietà dello scomporre:

$\Large x^4-a\geq 0$

$\Large (x^2-\sqrt a)(x^2+\sqrt a)\geq 0$

Osservando l’ultima disequazione ottenuta possiamo verificare che il fattore $\Large (x^2+\sqrt a)$ è sempre > 0 (essendo a > 0) per cui il segno della funzione sarà dato dal secondo fattore:

$\Large x^2-\sqrt a\geq 0$

l’equazione associata si annulla per:

$\Large x=\mp\sqrt{\sqrt a}=\mp\sqrt[4]{a}$

mentre la disequazione è soddisfatta per valori esterni all’intervallo delle radici per cui avremo:

$\Large x<-\sqrt[4]{a}\;\vee\;x>\sqrt[4]{a}$

Dal grafico si evince che la funzione è crescente negli intervalli $\Large \left]-\infty;\;-\sqrt[4]{a}\;\right[$ e $\Large \left]\sqrt[4]{a},\;+\infty\;\right[$ mentre la funzione è decrescente nell’intervallo $\Large \left]-\sqrt[4]{a},\;\sqrt[4]{a}\;\right[$ . Inoltre per $\Large x=-\sqrt[4]{a}$ la funzione ammette un massimo mentre per $\Large x=\sqrt[4]{a}$ un minimo.

Calcoliamo ora i limiti agli estremi del dominio:

$\Large \lim_{x\rightarrow -\infty}(x^5-5ax+a)=\\ =\lim_{x\rightarrow -\infty}x^5=-\infty$

$\Large \lim_{x\rightarrow +\infty}(x^5-5ax+a)=\\ =\lim_{x\rightarrow +\infty}x^5=+\infty$

Dai risultati ottenuti, per il Teorema di Bolzano generalizzato la funzione ammette almeno uno zero.

Ricapitoliamo i dati in nostro possesso:

per x → +∞ la f(x) → +∞
per x → − ∞ la f(x) → − ∞
per $\Large -\sqrt[4]{a}$ la funzione ammette un massimo
per $\Large \sqrt[4]{a}$ la funzione ammette un minimo

Ora siccome la funzione deve possedere possedere tre zeri reali e distinti (cioè deve intersecare tre volte l’asse delle x), questo può avvenire solo se il massimo si trova nel IV quadrante e il minimo si trova nel II quadrante come riportato nella seguente figura:

Ora affinché si verifichino le condizioni riportate nel grafico soprastante, cioè affinchè il massimo sia posizionato nel IV quadrante dovrà essere il valore di $\Large f\left (-\sqrt[4]{a}\right)>0$ mentre affinché il minimo sia posizionato nel II quadrante dovrà essere $\Large f\left (\sqrt[4]{a}\right)<0$ per cui dovremmo risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\Large \begin{cases} f\left (-\sqrt[4]{a}\right) &>0 \\ f\left (\sqrt[4]{a}\right) &<0 \end{cases}$

$\Large \begin{cases} (-\sqrt[4]{a})^2 -5a(-\sqrt[4]{a})+\sqrt[4]{a} &>0 \\ (\sqrt[4]{a})^2 -5a(\sqrt[4]{a})+\sqrt[4]{a} &<0 \end{cases}$

$\Large \begin{cases} -\sqrt[4]{a^5} +5a\sqrt[4]{a}+a &>0 \\ \sqrt[4]{a^5} -5a\sqrt[4]{a}+a &<0 \end{cases}$

$\Large \begin{cases} -a\sqrt[4]{a} +5a\sqrt[4]{a}+a &>0 \\ a\sqrt[4]{a} -5a\sqrt[4]{a}+a &<0 \end{cases}$

dividendo tutto per a avremo:

$\Large \begin{cases} -\sqrt[4]{a} +5\sqrt[4]{a}+1 &>0 \\ \sqrt[4]{a} -5\sqrt[4]{a}+1 &<0 \end{cases}$

$\Large \begin{cases} 4\sqrt[4]{a}+1 &>0 \\ -4\sqrt[4]{a}+1 &<0 \end{cases}$

La prima disequazione del sistema, essendo a > 0 è soddisfatta (cioè è > 0) per qualunque x appartenente a ℝ mentre per la seconda disequazione avremo:

$\Large -4\sqrt[4]{a}+1 <0$