Equazioni Esponenziali

Es.197 p.610

Risolvere la seguente equazione esponenziale

$2^{x+1}+2^{3-x}=17$

$2^{x}\cdot 2+2^{-x}\cdot 2^3-17=0$

$2^{x}\cdot 2+ 2^3\cdot \frac {1} {2^x} -17=0$

m.c.m. : $2^x$ quindi avremo:

$2^{2x}\cdot 2+ 2^3 -17\cdot {2^x}=0$

poniamo $2^x=t$ :

$2 t^2 +2^3-17 t =0$

$2 t^2 -17 t+2^3=0$

Calcoliamo il Delta:

$\Delta=b^2-4ac=(-17)^2-4\cdot 2\cdot 8 =289-64=225$

$t_ {1/2} = \frac{-b\pm \sqrt {\Delta} } {2a}= \frac{17\pm \sqrt {225 }}{4}$

$t_ {1} = \frac{17-15}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_ {2} = \frac{17+15}{4} = \frac{32}{4} = 8$

Sostituiamo nelle nostra equazione: $2^x=t$ ottenendo:

$2^x= \frac{1}{2} \; \; \Rightarrow \;\; 2^x= 2^{-1}$

Essendo uguali le basi lo saranno anche gli esponenti:

$x= -1$

Per la seconda soluzione avremo:

$2^x= 8 \; \; \Rightarrow \;\; 2^x= 2^{3}$

Essendo uguali le basi lo saranno anche gli esponenti:

$x=3$

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