Equazioni Esponenziali

Es.192 p.610

Risolvere la seguente equazione esponenziale

$5^{2x}-5^{x}= 5^{x-2} - \frac{1}{25}$

$5^{2x}-5^{x}- 5^{x}\cdot 5^{-2} + 5^{-2} =0$

Poniamo $5^x=t$ e quindi sostituendo avremo:

$t^{2}-t - 5^{-2}t + 5^{-2} =0$

$t^{2}-t - \frac{1}{25} t + \frac{1}{25} =0$

m.c.m. = 25:

$25t^{2}-t - 25t +1 =0$

$25t^{2} -26t +1 =0$

Calcoliamo il Delta:

$\Delta=b^2-4ac=26^2-4 \cdot 25=676-100=576$

$t_ {1/2} = \frac{-b\pm \sqrt {\Delta} } {2a}= \frac{26\pm \sqrt {576 }}{50}$

$t_ {1} = \frac{26-24}{50} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$

$t_ {2} = \frac{26+24}{50} = \frac{50}{50} = 1$

Sostituiamo nelle nostra equazione: $5^x=t$ ottenendo:

$5^x= \frac{1}{25} \; \; \Rightarrow \;\; 5^x= {5}^{-2}$

Essendo uguali le basi lo saranno anche gli esponenti:

$x=-2$

Per la seconda soluzione avremo:

$5^x= 1 \; \; \Rightarrow \;\; 5^x= {5}^{0}$

Essendo uguali le basi lo saranno anche gli esponenti:

$x=0$

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