Esame di Stato liceo scientifico – Anno 2023 – Quesito 4

Tra tutti i parallelepipedi a base quadrata di volume 𝑉, stabilire se quello di area totale minima ha anche diagonale di lunghezza minima.

Svolgimento:
Naturalmente, anche se non specificato dal testo, si tratta sicuramente di un parallelepipedo rettangolo altrimenti non ci sarebbe una sola diagonale.

Esame di Stato Sessione Ordinaria anno 2023 - Quesito 4

Conosciamo il volume V del parallelepipedo. Indichiamo con x (x > 0) il lato della base quadrata del parallelepipedo. Dalla formula del volume $\Large V=x^2\cdot h$ ricaviamo l’altezza $\Large h=\frac{V}{x^2}$

La superficie di base è data da : $\Large S_B=x^2$

La superficie laterale è data da $\Large S_L=Perim_B\cdot h=4x\cdot \frac{V}{x^2}=\frac{4V}{x}$

La superficie totale del parallelepipedo è quindi: $\Large S_T=S_L+2\cdot S_B=\frac{4V}{x}+2 x^2$

Quindi la funzione che rappresenta l’area totale del parallelepipedo è la seguente:

$\Large f(x)=2 x^2+\frac{4V}{x}$

Deriviamo la funzione della superficie totale f(x) e studiamo il segno della derivata per determinare i punti stazionari.

$\Large f'(x)=4x+\frac{D[4V]\cdot x-1\cdot 4V}{x^2}$

$\Large f'(x)=4x+\frac{0-4V}{x^2}$

$\Large f'(x)=4x-\frac{4V}{x^2}$

Studiamo ora il segno della derivata prima e vediamo quando f'(x) > 0:

$\Large 4x-\frac{4V}{x^2}>0$

$\Large \frac{4x^3-4V}{x^2}>0$

$\Large 4\cdot\frac{x^3-V}{x^2}>0$

Il numeratore è > 0 per $\Large x^3-V>0$ cioè per $x>\sqrt[3]{V}$

Il denominatore invece essendo un quadrato è sempre > 0. e quindi non influirà sul segno della derivata prima; per cui il grafico dei segni sarà:

Esame di stato 2023 - Quesito 4. Segno della derivata prima dell'area totale del parallelepipedo.

Dal grafico dei segni della derivata prima possiamo vedere che la funzione f(x) = Superficie totale del parallelepipedo (rettangolo) ammette un minimo quando il lato $\Large x>\sqrt[3]{V}$ .

Calcoliamo ora la diagonale del parallelepipedo considerando il triangolo rettangolo che in figura è rappresentata dal segmento EC.

Consideriamo il triangolo rettangolo AEC dove AE=h (altezza del parallelepipedo) e AC è la diagonale del quadrato di base che sarà uguale al lato per radice di 2, per cui avremo che $\Large AB=x \sqrt{2}$

Calcoliamo ora con Pitagora la diagonale in funzione del lato x: d(x)=EC:

$\Large d(x)=EC=\sqrt{AC^2+AE^2}=\sqrt{(x \sqrt{2})^2+h^2}$

sostituiamo al posto di h il valore trovato in precedenza in funzione del volume V ottenendo:

$\Large d(x)=EC=\sqrt{(x \sqrt{2})^2+h^2}$

$\Large d(x)=EC=\sqrt{(x \sqrt{2})^2+\left ( \frac{V}{x^2} \right )^2}$

$\Large d(x)=EC=\sqrt{2x^2+\frac{V^2}{x^4}}$ , con x>0 e quindi essendo la funzione positiva, i suoi eventuali punti di massimo e di minimo sono gli stessi della funzione elevata al quadrato pertanto possiamo scrivere la funzione:

$\Large r(x)=\left ( \sqrt{2x^2+\frac{V^2}{x^4}} \right )^2$

$\Large r(x)={2x^2+\frac{V^2}{x^4}}$

Calcoliamone la derivata prima e studiamone il segno:

$\Large r'(x)={4x+\frac{V^2}{x^4}}$

$\Large r(x)={2x^2+V^2x^{-4}}$

$\Large r'(x)={4x+V^2(-4)x^{-4-1}}$

$\Large r'(x)={4x-4V^2x^{-5}}$

$\Large r'(x)=4x-\frac{4V^2}{x^5}$

$\Large r'(x)=\frac{4x^6 -4V^2}{x^5}$

$\Large r'(x)=4\frac{x^6 -V^2}{x^5}$

Studiamo il segno della r'(x) considerando che il 4 davanti alla linea di frazione è > 0; la x essendo la lunghezza di un segmento è sempre > 0 e quindi il denominatore è sempre > 0 per cui non ci resta che analizzare il segno del numeratore e cioè:

$\Large x^6 -V^2>0\;\rightarrow \;x^6>V^2\;\rightarrow \\<br /> x>\sqrt[6]{V^2}\;\rightarrow\;x>\sqrt[3]{V}<br /> ” /></p> <p><img decoding=$

Dal grafico dei segni della derivata prima possiamo vedere che la funzione r(x) = diagonale del parallelepipedo (rettangolo) ammette un minimo quando il lato $\Large x>\sqrt[3]{V}$ .

$\;\;$

In conclusione il parallelepipedo di area totale minima ha anche la diagonale di lunghezza minima ed essendo la x (lato del quadrato di base) = h (altezza del parallelepipedo rettangolo) ne concludiamo che il parallelepipedo è un cubo.

skuolablog Giugno 22, 2023 Analisi, Esame di Stato Analisi, Matematica No Comments »

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