Esame di Stato liceo scientifico – Anno 2023 – Quesito 3

Considerata la retta 𝑟 passante per i due punti 𝐴(1, −2, 0) e 𝐵(2, 3, −1), determinare l’equazione cartesiana della superficie sferica di centro 𝐶(1, −6, 7) e tangente a 𝑟.

Soluzione

Troviamo per prima cosa l’equazione della retta AB passante per i due punti A e B.
Per trovare una retta nello spazio che passa per due punti A e B bisogna trovare prima il vettore direttore della retta:

$\Large v_{AB}=(x_B-x_A;\;\; y_B-y_A;\;\; z_B-z_A)$

$\Large v_{AB}=(2-1;\;\; 3-(-2);\;\; -1-0)=1;\;\;5;\;\;-1$

Ora per scrivere l’equazione parametrica della retta passante per AB basta considerare uno dei suoi punti (nel nostro caso considero il punto A che avendo una coordinata nulla ci faciliterà i calcoli) e il vettore direttore; per cui avremo:

$\Large r:\;\; \begin{cases} x= 1 +1t \\ y= -2 +5t \\ z= 0 -1t \end{cases} \;\rightarrow \;$

$\Large r:\;\; \begin{cases} x= 1 +t \\ y= -2 +5t \\ z= 0 -t \end{cases}$

Poiché la superficie sferica è tangente alla retta r, il suo raggio R sarà pari alla distanza fra il suo centro C(1; -6; 7) e la retta r. Per calcolare la distanza fra C ed r bisogna determinare l’equazione del piano α passante per C e perpendicolare alla retta r:

Il piano α ha equazione:

$\Large \alpha:\;\; x_{AB}(x-x_C)+y_{AB}(y+6)+z_{AB}(z-7)=0$

$\Large \alpha:\;\; 1(x-1)+5(y+6)-1(z-7)=0$

$\Large \alpha:\;\; x-1+5y+30-z+7=0$

$\Large \alpha:\;\; \alpha:x+5y-z+36=0$

Determiniamo ora le coordinate del punto d’intersezione T fra il piano α e la retta r, mettendo a sistema l’equazione del piano con l’equazione parametrica della retta:

$\Large \begin{cases} x+5y-z+36=0\\ x= 1 +t \\ y= -2 +5t \\ z= 0 -t \end{cases}$