Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee – Esercizio guida 2 pag. 2108 – Matematica.blu 2.0 vol.5

Risolvere la seguente equazione differenziale

$\Large y'' - 2y' + y = 0$

Scriviamo la sua equazione caratteristica:

$\Large z^2-2z+1 = 0$

Risolviamo tale equazione: Δ = 4 – 4 = 0

Possiamo osservare che l’equazione è il quadrato di un binomio e cioè: $\Large (z-1)^2$ e le soluzioni reali e coincidenti sono: $\Large z_1=z_2=1$

Dalla teoria sappiamo che per Δ = 0 la soluzione generale dell’equazione differenziale è:

$\Large y=c_1e^{z_1x}+c_2xe^{z_2x}$ , con $\Large c_1, c_2 \in \mathbb{R}$ , ossia, essendo $\Large z_1=z_2$ , raccogliendo avremo:

$\LARGE y=e^{z_1x}(c_1+c_2x)$

Pertanto la soluzione generale della nostra equazione differenziale è:

$\Large y=e^{x}(c_1+c_2x)\; \mbox { con } c_1,\; c_2 \in \mathbb{R}$

Per visualizzare la scheda di sintesi per la risoluzione delle equazioni differenziali cliccare sul link sotto riportato:

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