Equazioni differenziali lineari del primo ordine – Esercizio n.108 pag. 2116 – Matematica.blu 2.0 vol.5

Risolvi la seguente equazione differenziale:

$\Large y'+2xy-2x=0$

L’equazione lineare è completa. Scriviamola nella forma y’ = a(x)y + b(x), per individuare a(x) e b(x).

$\Large y'=-2x\cdot y+2x$

Nel nostro caso a(x)=-2x e b(x)=2x

Ricordiamo dalla teoria che la formula risolutiva per il calcolo dell’integrale generale di un’equazione differenziale lineare del primo ordine del tipo y’=a(x)y+b(x) è data da:

$\Large y=e^{\int a(x)\;dx}\left [ \int b(x)e^{-\int a(x)\;dx}\;dx+c \right ]$

oppure, indicando con A(x) la primitiva di a(x) cioè $\Large A(x)=\int a(x)\;dx$ :

$\Large y=e^{A(x)}\left [ \int b(x)e^{-A(x)}\;dx+c \right ]$

Per facilitare l’applicazione della formula risolutiva, scomponiamola in varie parti, calcolando alcuni integrali che vi compaiono.

$A(x)=\Large \int a(x)\;dx= \int -2x\; dx=-x^2$

$\Large e^{-A(x)}=e^{-(-x^2)}=e^{x^2}$

$\Large e^{A(x)}=e^{-x^2}$

$\Large \int b(x)e^{-A(x)}=\int 2xe^{x^2}\; dx=\\ =2\int xe^{x^2}\;dx$

A questo punto risolviamo per sostituzione l’integrale $\Large \int xe^{x^2}\;dx$ ponendo $\Large x^2=t$ , detiviamo ambo i membri ottenendo: $\Large 2x\;dx=dt$ da cui abbiamo che $\Large x\;dx=\frac{1}{2}dt$ pertanto possiamo scrivere: