Equazioni differenziali lineari del primo ordine – Esercizio guida pag. 2105 – Matematica.blu 2.0 vol.5
Risolvi la seguente equazione differenziale:
, con x>0.
L’equazione lineare è completa. Scriviamola nella forma y’ = a(x)y + b(x), per individuare a(x) e b(x).
Nel nostro caso 
e 
Ricordiamo dalla teoria che la formula risolutiva per il calcolo dell’integrale generale di un’equazione differenziale lineare del primo ordine del tipo y’=a(x)y+b(x) è data da:
![\Large y=e^{\int a(x)\;dx}\left [ \int b(x)e^{-\int a(x)\;dx}\;dx+c \right ]](http://skuolablog.altervista.org/wp-content/uploads/eq_02cbb7b1cdfbb964c4a88c19f12f0afd.png)
oppure, indicando con A(x) la primitiva di a(x) cioè 
:
![\Large y=e^{A(x)}\left [ \int b(x)e^{-A(x)}\;dx+c \right ]](http://skuolablog.altervista.org/wp-content/uploads/eq_0bc1f67e2411fafca6f8a228fcdf2f64.png)
Per facilitare l’applicazione della formula risolutiva, scomponiamola in varie parti, calcolando alcuni integrali che vi compaiono.
Nella soluzione precedente abbiamo trascurato il |x| (modulo di x) poiché per ipotesi è x>0.
Sostituendo nella formula dell’integrale , otteniamo:
![\Large y=\frac{1}{x}\cdot \left[\frac{x^3}{3}+c \right]=\frac{x^2}{3}+\frac{c}{x}](http://skuolablog.altervista.org/wp-content/uploads/eq_09bc2d82566cf4686d1fd7ca05a4ab08.png)