Equazioni differenziali a variabili separabili – Esercizio n. 57 pag. 2114 – Matematica.blu 2.0 vol.5

Risolvi la seguente equazione differenziale a variabili separabili:

$\Large y'=xy$

Riscriviamo l’equazione nella forma $\Large \frac{dy}{dx}=g(x)\cdot h(y)$ individuando g(x) e h(y):

$\Large \frac{dy}{dx}=xy$

Nel nostro caso $\Large g(x)=x$ e $\Large h(y)=y$

Consideriamo il caso in cui $h(y)\neq 0$ e separiamo le variabili moltiplicando ambo i membri per $\frac{dx}{h(y)}$ :

per $\Large y\;\neq \;0$ possiamo moltiplicare ambo i membri per $\Large \frac{dx}{y}$ ottenendo:

$\Large \frac{dx}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=xy\cdot \frac{dx}{y}$

$\Large \frac{dy}{y}=x\cdot dx$

Integriamo ambo i membri:

$\Large \int \frac{dy}{y}=\int x\cdot dx$

$\Large \int \frac{1}{y}\;dy=\int x\cdot dx$

$\Large \ln {y}=\frac{x^2}{2}+c$

Per calcolare la y, essendo uguale l’uguaglianza sopra riportata sarà uguale anche il seguente esponenziale:

$\Large e^{\ln {y}}=e^{x^2+c}$

Sapendo che l’esponenziale di un logaritmo naturale di un argomento è uguale all’argomento stesso possiamo scrivere:

$\Large y=e^{x^2+c}$

$\Large y=e^{x^2}\cdot e^{c}$

ponendo il parametro $\Large e^{c}=k$ , con k>0 sempre, possiamo scrivere:

$\Large y=ke^{x^2}$

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