Equazioni differenziali a variabili separabili – Esercizio n. 56 pag. 2114 – Matematica.blu 2.0 vol.5

Risolvi la seguente equazione differenziale a variabili separabili:

$\Large y'=4x(y-3)$

Riscriviamo l’equazione nella forma $\Large \frac{dy}{dx}=g(x)\cdot h(y)$ individuando g(x) e h(y):

$\Large \frac{dy}{dx}=4x(y-3)$

Nel nostro caso $\Large g(x)=4x$ e $\Large h(y)=y-3$

Consideriamo il caso in cui $h(y)\neq 0$ e separiamo le variabili moltiplicando ambo i membri per $\frac{dx}{h(y)}$ :

per $\Large y-3\neq 0$ possiamo moltiplicare ambo i membri per $\Large \frac{dx}{y-3}$ ottenendo:

$\Large \frac{dx}{y-3}\cdot \frac{dy}{dx}=4x(y-3)\cdot \frac{dx}{y-3}$

$\Large \frac{dy}{y-3}=4x\cdot dx$

Integriamo ambo i membri dell’equazione e poi esplicitiamo la y:

$\Large \int \frac{dy}{y-3}=\int 4x\cdot dx$

$\Large \int \frac{1}{y-3}\;dy=4\int x\cdot dx$

$\Large \ln {(y-3)}=4\cdot \frac{x^2}{2}+c$

$\Large \ln {(y-3)}=2{x^2}+c$

Per calcolare la y, essendo uguale l’uguaglianza sopra riportata sarà uguale anche il seguente esponenziale:

$\Large e^{\ln {(y-3)}}=e^{2{x^2}+c}$

Sapendo che l’esponenziale di un logaritmo naturale di un argomento è uguale all’argomento stesso possiamo scrivere:

$\Large y-3=e^{2{x^2}+c}$

$\Large y-3=e^{2{x^2}}\cdot e^{c}$

$\Large y=e^{2{x^2}}\cdot e^{c}+3$

ponendo il parametro $\Large e^{c}=k$ con k>0 sempre, possiamo scrivere:

$\Large y=ke^{2{x^2}}+3$

Analizziamo il caso in cui y – 3 = 0:

In base alla posizione iniziale fatta cioè y – 3 ≠ 0, ci resta ancora da analizzare il caso in cui y – 3 = 0 cioè y = 3.

Per y = 3 avremo che $\Large y'=4x(3-3)\;\Rightarrow\;y'=0$ quindi anche y = 3 è soluzione dell’equazione differenziale.

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