Equazioni differenziali a variabili separabili – Esercizio n. 58 pag. 2114 – Matematica.blu 2.0 vol.5

Risolvi la seguente equazione differenziale a variabili separabili:

$\Large \frac{y'}{y}=\frac{1}{(x-6)^2}$

moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per y:

$\Large y\cdot \frac{y'}{y}=\frac{1}{(x-6)^2}\cdot y$

$\Large y'=y\cdot \frac{1}{(x-6)^2}$

Riscriviamo l’equazione nella forma $\Large \frac{dy}{dx}=g(x)\cdot h(y)$ individuando g(x) e h(y):

$\Large \frac{dy}{dx}=y\cdot \frac{1}{(x-6)^2}$

Nel nostro caso $\Large g(x)=\frac{1}{(x-6)^2$ e $\Large h(y)=y$

Consideriamo il caso in cui $h(y)\;\neq\; 0$ e separiamo le variabili moltiplicando ambo i membri per $\Large \frac{dx}{h(y)}$ :

per $\Large y\neq 0$ possiamo moltiplicare ambo i membri per $\Large \frac{dx}{y}$ ottenendo:

$\Large \frac{dx}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{1}{(x-6)^2}\cdot \frac{dx}{y}$

$\Large \frac{1}{y}\;dy=\frac{1}{(x-6)^2}\; dx$

Integriamo ambo i membri:

$\Large \int \frac{1}{y}\;dy=\int \frac{1}{(x-6)^2}\; dx$

Per la risoluzione del 2° integrale poniamo $\Large x-6=t$ , deriviamo ambo i membri ottenendo: $\Large dx=dt$ e sostituiamo nella precedente:

$\Large \int \frac{1}{y}\;dy=\int \frac{1}{t^2}\; dt$

$\Large \int \frac{1}{y}\;dy=\int t^{-2}\; dt$

$\Large \ln |y|=\frac{t^{-1}}{-1}+c$

$\Large \ln |y|=-\frac{1}{t}+c$

sostituiamo ora al parametro alla t la posizione fatta in precedenza, ottenendo:

$\Large \ln |y|=-\frac{1}{x-6}+c$

Per calcolare la y, essendo uguale l’uguaglianza sopra riportata sarà uguale anche il seguente esponenziale:

$\Large e^{\ln {y}}=e^{-\frac{1}{x-6}+c}$

Sapendo che l’esponenziale di un logaritmo naturale di un argomento è uguale all’argomento stesso possiamo scrivere:

$\Large y=e^{-\frac{1}{x-6}+c}$

$\Large y=e^{-\frac{1}{x-6}}\cdot e^{c}$

ponendo il parametro $\Large e^{c}=k$ con k>0 sempre possiamo scrivere:

$\Large y=ke^{-\frac{1}{x-6}}$

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