Determinare la soluzione particolare y=f(x) – Esercizio n. 42 pag. 2113 – Matematica.blu 2.0 vol.5

Determina la soluzione particolare y = f(x) della seguente equazione differenziale, che soddisfa la condizione iniziale posta a fianco.

$\Large y'=6xe^{x^2}\;\;\; \mbox {con }f(0)=4$

Si tratta di un’equazione differenziale del tipo y’=f(x) per la cui risoluzione ci basterà integrare ambo i membri:

$\Large \int y'\;dx=\int 6xe^{x^2}\; dx$

$\Large \int y'\;dx=6\int xe^{x^2}\; dx\;\mbox{ (*)}$

Risolviamo per sostituzione il seguente integrale:

$\Large \int xe^{x^2}\; dx$

poniamo $\Large {x^2}=t$ e deriviamo ambo i membri ottenendo:

$\Large 2x\; dx=dt$

$\Large x\; dx=\frac{1}{2}\;dt$

Sostituendo il risultato ottenuto nella (*) otterremo:

$\Large \int y'\;dx=6\int e^{t}\cdot \frac{1}{2}\; dt$

$\Large \int y'\;dx=6\cdot \frac{1}{2}\int e^{t}\; dt$

$\Large \int y'\;dx= 3\int e^{t}\; dt$

$\Large y= 3 e^{t}+c$

Sostituendo al posto della t la posizione fatta in precedenza e cioè: $\Large {x^2}=t$ avremo:

$\Large y= 3 e^{x^2}+c$

Calcoliamo ora il caso particolare: calcoliamo il parametro c ponendo x=0 e y=4 nella funzione precedente ottenuta:

$\Large 4= 3 e^{0}+c$

$\Large 4=3+c$

$\Large 4-3=c$

$\Large c=1$

Quindi la nostra soluzione particolare sarà:

$\Large y= 3 e^{x^2}+1$

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