Determinare la soluzione particolare y=f(x) – Esercizio n. 41 pag. 2113 – Matematica.blu 2.0 vol.5

Determina la soluzione particolare y = f(x) della seguente equazione differenziale, che soddisfa la condizione iniziale posta a fianco.

$\Large x^2y'-x+1=0\;\;\; \mbox { con }f(1)=2$

Riscriviamo l’equazione come segue:

$\Large x^2y'=x-1$

$\Large \frac{x^2y'}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$

$\Large y'=\frac{x-1}{x^2}$

$\Large y'=\frac{x}{x^2}-\frac{1}{x^2}$

$\Large y'=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$

Si tratta di un’equazione differenziale del tipo y’=f(x) per la cui risoluzione ci basterà integrare ambo i membri:

$\Large \int y'\;dx=\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\; dx$

$\Large \int y'\;dx=\int \frac{1}{x}\;dx -\int \frac{1}{x^2}\; dx$

$\Large \int y'\;dx=\int \frac{1}{x}\;dx -\int x^{-2}\; dx$

$\Large y=\ln |x|-\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+c$

$\Large y=\ln |x|-\frac{x^{-1}}{-1}+c$

$\Large y=\ln |x|+\frac{1}{x}+c$

Calcoliamo ora il caso particolare: calcoliamo il parametro c ponendo x=1 e y=2 nella funzione precedente ottenuta:

$\Large 2=\ln |1|+\frac{1}{1}+c$

$\Large 2=0+1+c$

$\Large 2-1=c$

$\Large c=1$

Quindi la nostra soluzione particolare sarà:

$\Large y=\ln |x|+\frac{1}{x}+1$

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