[Analisi] Trovare a e b affinché lim x->+inf f(x)=1 e f(0)=3

Tutti i Colori della Matematica Esercizio 984 pag. 156

Data la funzione trovare a e b affinché e f(0)=3.

Cominciamo con il trovare f(0) sostituendo nella funzione lo 0 al posto della x ottenendo:

Ora, come indicato dal testo dell’esercizio, poniamo il risultato di f(0)=1 ottenendo:

Sostituiamo ora il valore di c=9 appena trovato nella funzione di partenza ottenendo:

Calcoliamo il limite della funzione per x → +∞ ottenendo:

Dal testo dell’esercizio sappiamo che questo limite deve tendere a 1 e affinchè ciò si verifichi dobbiamo avere sia al numeratore che al denominatore la x con lo stesso grado. Nel nostro caso specifico abbiamo che il muneratore è di 2° grado (x²) mentre il denominatore è di 1° grado (x); se calcolassimo il limite con il grado massimo avremmo x²/x = x al numeratore che per x → +∞ la funzione tende a +∞ e non a 1, quindi al numeratore il coefficiente della x² deve essere nullo e cioè:

2a – 3 = 0 da cui a = 3/2

Sostituendo ora la a=3/2 nella nostra funzione di partenza avremo che il coefficiente di x² = 0 per cui possiamo scrivere:

Ora osservando il limite sopra riportato possiamo affermare che affinché tale limite sia uguale a 1 la x al numeratore e la x al denominatore devono avere stesso coefficiente per cui dovremmo avere:

b – 2 = 1 da cui b = 3