[Fisica] Una particella di massa m=3,0×10^(-3) kg possiede una carica q=7,8×10^(-10) C

Amaldi 2 – Cap.15 – Esercizio n.73 pag. 179

Una particella di massa m=3,0×10^(-3) kg possiede una carica q=7,8×10^(-10) C ed è posta in prossimità di un piano molto esteso, con distribuzione superficiale di carica uniforme. Lasciata libera di muoversi, la particella percorre una distanza d=3,0 m in un intervallo di tempo Δt=2,4 s. Trascura l’effetto della forza peso. Calcola il modulo della densità superficiale di carica del piano.

======= DATI DEL PROBLEMA =======
m=3,0•10(-3) kg
q=7,8•10(-10) C
d=3,0 m
Δt=2,4 s

——- Costanti fisiche ——-
Costante di Coulomb

$\Large \displaystyle k_0=8,99\cdot 10^9\;\; \frac{N\cdot m^2}{C^2}$

Costante dielettrica nel vuoto

$\Large \displaystyle \epsilon_0=8,854\cdot 10^{-12}\;\; \frac{C^2}{N\cdot m^2}\\ \mbox{essendo\;\;} \; 1\;\;\frac{C^2}{N\cdot m} = 1\;\; F \\ \epsilon_0=8,854\cdot 10^{-12}\;\; \frac{F}{m}$

======= SVOLGIMENTO =======

Dal moto rettilineo uniformemente accelerato sappiamo che lo spazio percorso è dato dalla formula: $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ da cui ricaviamo l’accelerazione che è: $a=\frac{2\cdot s}{t^2}$
Nel nostro caso, essendo lo spazio percorso = d e il tempo impiegato a percorrerlo = Δt, l’accelerazione è data da: $a=\frac{2\cdot d}{\Delta t^2}$ (1).

Dalla formula F=m•a ricavo a=F/m, essendo poi F=q•E sostituendo nella precedente avremo a=q•E/m; sostituisco l’accelerazione ‘a‘ appena trovata nella formula precedente [la (1)] ottenendo:

$\Large \displaystyle \frac{q\cdot E}{m}=\frac{2\cdot d}{\Delta t^2}$

Dalla formula precedente calcolo la E che sarà: $E=\frac{2\cdot d\cdot m}{q\cdot \Delta t^2}$ (2).

A questo punto possiamo calcolare il modulo della distribuzione superficiale di carica che è:

$\Large \displaystyle |\sigma|=2\cdot \epsilon_0\cdot E$

Alla E sostituiamo la formula (2) ottenendo:

$\Large \displaystyle |\sigma|=\frac{(4\cdot \epsilon_0\cdot m\cdot d)}{q\cdot \Delta t^2}\;\; \frac{C}{m^2}$

Ora sostituiamo i valori numerici in nostro possesso ottenendo:

$\Large \displaystyle |\sigma|=\frac{4\cdot (8,854\cdot 10^{-12}\; \frac{F}{m})\cdot (3,0\cdot 10^{-3} kg)\cdot 3,0\; m}{7,8\cdot 10^{-10} C \cdot (2,4 \;s)^2}=7,1\cdot 10^{-5} \frac{C}{m^2}$

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