[Analisi] Trovare a e b affinché f(0)=4 e lim x->+inf f(x)=0

Tutti i Colori della Matematica Esercizio 982 pag. 156

Data la funzione $\Large \displaystyle y= \frac{(a-3)x^2+8}{ax^2+b}$ trovare a e b affinché f(0)=4 e $\Large \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=2$

Troviamo f(0) sostituendo nella funzione lo 0 al posto della x ottenendo:

$\Large \displaystyle f(0)= \frac{(a-3)\cdot 0+8}{a\cdot 0+b}= \frac{8}{b}$

poniamo il risultato di f(0) = 4 ottenendo:

$\Large \displaystyle f(0)=\frac{8}{b}=4\;\Rightarrow \; b=\frac{8}{4}\;\Rightarrow \; b=2$

Sostituiamo ora il valore di b=2 appena trovato nella funzione di partenza ottenendo:

$\Large \displaystyle f(x)= \frac{(a-3)x^2+8}{ax^2+2}$

Calcoliamo ora il limite per x→∞ ottenendo:

$\Large \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{(a-3)x^2+8}{ax^2+2}=\\=\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2[(a-3)+\frac{8}{x^2}]}{x^2(a+\frac{2}{x^2})}$

Semplificando x² sia al numeratore che al denominatore e considerando che i termini 8/x² e 2/x² tendono a o per x→∞ avremo:

$\Large \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \lim_{x \to +\infty} \frac{\not x^2[(a-3)+0]}{\not x^2(a+0)}$

poniamo il risultato del limite = 2 ottenendo:

$\Large \displaystyle \frac{a-3}{a}=2\;\Rightarrow \;a-3=2a\;\Rightarrow \;a=-3$

skuolablog Novembre 14, 2022 Analisi, Studio di funzione Analisi, Matematica No Comments »

[Analisi] Calcola il seguente limite: lim x->0 (e^x-1)/(xcos(x)-x)

[Analisi] Trovare a e b affinché lim x->+inf f(x)=4 e lim x->2 f(x)=inf

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