[Analisi] Calcola il seguente limite: lim x->0 (e^x-1)/(xcos(x)-x)

Matematica blu 2.0 vol.5 Esercizio 1d pag. 1580

Calcola il seguente limite:

$\Large \displaystyle \lim_{x \to 0}\; \frac{e^x-1}{x\cos x-x}$

Proviamo a sostituire 0 nell’equazione ottenendo:

$\Large \displaystyle \lim_{x \to 0}\; \frac{e^0-1}{0\cdot\cos 0-0}=\frac{1-1}{0\cdot1-0}=\frac{0}{0}$

Forma indeterminata 0/0. Proviamo a semplificare utilizzando la formula trigonometrica di duplicazione del coseno. Dalla trigonometria sappiamo che:

$\Large \displaystyle \cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha$

Nel nostro limite abbiamo $\cos x$ invece di $\cos 2\alpha$ per cui possiamo scrivere:

$\Large \displaystyle x=2\alpha \Rightarrow \alpha=\frac{x}{2}$

A questo punto possiamo riscrivere il $\cos 2\alpha$ in funzione di x, pertanto avremo:

$\Large \displaystyle \lim_{x \to 0}\; \frac{e^x-1}{x(1-2\sin^2\frac{x}{2})-x}$

$\Large \displaystyle =\lim_{x \to 0}\; \frac{e^x-1}{x-2x\sin^2\frac{x}{2}-x}$

$\Large \displaystyle =\lim_{x \to 0}\; \frac{e^x-1}{\not x-2x\sin^2\frac{x}{2}-\not x}$

$\Large \displaystyle =\lim_{x \to 0}\; -\frac{e^x-1}{2x\sin^2\frac{x}{2}}$

$\Large \displaystyle =-\lim_{x \to 0}\; \frac{e^x-1}{2x\sin^2\frac{x}{2}}$

A questo punto, al denominatore, moltiplico e divido per $\left(\frac{x}{2}\right)^2$ ottenendo:

$\Large \displaystyle -\lim_{x \to 0}\; \frac{e^x-1}{2x\sin^2\frac{x}{2}\cdot\frac{\left(\frac{x}{2}\right)^2}{\left(\frac{x}{2}\right)^2}}$

$\Large \displaystyle =-\lim_{x \to 0}\; \frac{e^x-1}{2x\cdot \frac{x^2}{4}\cdot \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right)^2}$

$\Large \displaystyle =-\lim_{x \to 0}\; \frac{e^x-1}{\not 2^1x\cdot \frac{x^2}{\not 4^2}\cdot \left( \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2$

$\Large \displaystyle =-\lim_{x \to 0}\; \frac{e^x-1}{\frac{1}{2}x^3\cdot \left( \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2$

$\Large \displaystyle =-\lim_{x \to 0}\; \frac{2\cdot(e^x-1)}{x^3\cdot \left( \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2$

$\Large \displaystyle =-2\lim_{x \to 0}\; \frac{e^x-1}{x^3\cdot \left( \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2$

Dai limiti notevoli sappiamo che per $x \to 0}$ il limite di $\frac{\sin x}{x}$ è uguale a 1 per cui avremo:

$\Large \displaystyle =-2\lim_{x \to 0}\; \frac{e^x-1}{x^3\cdot \left(1\right)^2$

$\Large \displaystyle =-2\lim_{x \to 0}\; \frac{1}{x^2}\cdot\frac{e^x-1}{x}$

Dai limiti notevoli sappiamo che per $x \to 0}$ il limite di $\frac{e^x-1}{x}$ è uguale a 1 per cui avremo:

$\Large \displaystyle =-2\lim_{x \to 0}\; \frac{1}{x^2}\cdot 1$

Sostituendo il valore a cui tende il limite avremo:

$\Large \displaystyle =-2\lim_{x \to 0}\; \frac{1}{x^2}$

$\Large \displaystyle =-2\lim_{x \to 0}\; \frac{1}{0}=-2\cdot (+\infty)=-\infty$

skuolablog Novembre 7, 2022 Analisi, Limiti Analisi, Matematica No Comments »

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