[Analisi] Calcola il seguente limite: lim x->+inf n^2(1-cos(1/n))

Matematica blu 2.0 vol.5 Esercizio 1c pag. 1580

Calcola il seguente limite:

$\Large \displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^2\cdot \left(1-\cos\frac{1}{n}\right)$

Proviamo a sostituire +∞ nell’equazione ottenendo:

$\Large \displaystyle \lim_{n \to +\infty} (+\infty)^2\cdot \left(1-\cos\frac{1}{+\infty}\right)=\\=(\infty)\cdot \left(1-\cos 0\right)=\\(\infty)\cdot \left(1-1\right)= \infty\cdot 0\$

Forma indeterminata ∞·0. Proviamo a semplificare utilizzando la formula trigonometrica di duplicazione del coseno. Dalla trigonometria sappiamo che:

$\Large \displaystyle \cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha$

Nel nostro limite abbiamo $\cos\frac{1}{n}$ invece di $\cos 2\alpha$ per cui possiamo scrivere:

$\Large \displaystyle \frac{1}{n}=2\alpha\Rightarrow \alpha=\frac{1}{2n}$

A questo punto possiamo riscrivere il cos(2α) in funzione di n , pertanto avremo:

$\Large \displaystyle \cos \not 2\left(\frac{1}{\not 2n}\right)=1-2\sin^2 \frac{1}{2n}$

$\Large \displaystyle \cos \frac{1}{n}=1-2\sin^2 \frac{1}{2n}$

Per cui sostituendo nel nostro limite iniziale i valori della formula di duplicazione del coseno appena trovati, avremo:

$\Large \displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^2\cdot \left(1-\cos\frac{1}{n}\right)$

$\Large \displaystyle =\lim_{n \to +\infty} n^2\cdot \left(1-\left( 1-2\sin^2 \frac{1}{2n}\right)\right)$

$\Large \displaystyle =\lim_{n \to +\infty} n^2\cdot \left(\not 1-\not 1+2\sin^2 \frac{1}{2n}\right)$

$\Large \displaystyle =\lim_{n \to +\infty} 2n^2\cdot\sin^2 \frac{1}{2n}$

A questo punto moltiplico numeratore e denominatore per $\left(\frac{1}{2n}\right)^2$ ottenendo:

$\Large \displaystyle =\lim_{n \to +\infty} 2n^2\cdot\sin^2 \frac{1}{2n}\cdot \frac{\left(\frac{1}{2n}\right)^2}{\left(\frac{1}{2n}\right)^2}$

$\Large \displaystyle =\lim_{n \to +\infty} 2n^2\cdot\left(\frac{1}{2n}\right)^2\cdot \frac{\sin^2 \frac{1}{2n}}{\left(\frac{1}{2n}\right)^2}$

$\Large \displaystyle =\lim_{n \to +\infty} \frac{\not 2^1\not n^2}{\not 4^2\not n^2}\cdot \frac{\sin^2 \frac{1}{2n}}{\left(\frac{1}{2n}\right)^2}$

$\Large \displaystyle =\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{\sin \frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}\right)^2$

$\Large \displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \lim_{n \to +\infty} \frac{\sin \frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}\cdot \frac{\sin \frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}$

Dai limiti notevoli sappiamo che per $x \to 0}$ il limite di $\frac{\sin x}{x}$ è uguale a 1 da ciò deriva che anche il limite di $\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$ per $x \to +\infty}$ è uguale a 1 per cui avremo: