[Analisi] Calcola il seguente limite: lim x->0 (x^2+x)/(2x+sin(x))

Matematica blu 2.0 vol.5 Esercizio 356 pag. 1535

Calcola il seguente limite:

\Large \displaystyle {\lim_{ x\to {0}} \frac{x^2+x}{2x+\sin x}

Proviamo a sostituire 0 nel limite ottenendo:

\Large \displaystyle {\lim_{x\to {0}} \frac{x^2+x}{2x+\sin x}=

\Large \displaystyle=\frac{0^2+0}{2\cdot 0+\sin 0}=\frac{0}{0}

Forma indeterminata 0/0. Proviamo a semplificare mettendo in evidenza la x al numeratore e 2x al denominatore ottenendo:

\Large \displaystyle {\lim_{ x\to {0}} \frac{x(x+1)}{2x\left(1+\frac{\sin x}{2x}\right)}=

\Large \displaystyle {\lim_{ x\to {0}} \frac{\not{x}(x+1)}{2\not{x}\left(1+\frac{\sin x}{2x}\right)}=

\Large \displaystyle =\frac{1}{2}\cdot {\lim_{ x\to {0}} \frac{x+1}{\left(1+\frac{\sin x}{2x}\right)}

Ricordando che il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti possiamo scrivere:

\Large \displaystyle \frac{1}{2}\cdot {\lim_{ x\to {0}} \left(x+1\right)\ }\cdot {\lim_{ x\to {0}} \frac{1}{\left(1+\frac{{\mathrm{sin} x\ }}{2x}\right)}\ }=

=\Large \displaystyle \frac{1}{2}\cdot {\lim_{ x\to {0}} (0+1)\ }\cdot {\lim_{ x\to {0}} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{sin} x\ }}{x}\right)}\ }

Sostituendo il valore a cui tende il limite e ricordando che il limite per x→0 di sin(x)/x è un limite notevole ed è = 1, otteniamo:

\Large \displaystyle \frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{1}{\left(1+\frac{1}{2}\cdot 1\right)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}

Ottobre 28, 2022 , Analisi, Matematica No Comments »


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