[Analisi] Calcola il seguente limite: lim x->1 (x^3-7x+6)/(x^2-1)

Matematica blu 2.0 vol.5 Esercizio: Es. 224 pag. 1530

Calcola il seguente limite:

\Large \displaystyle \lim_{ x\to {1}} \frac{x^3-7x+6}{x^2-1}

Sostituendo nella funzione il valore a cui tende il limite otteniamo:

\Large \displaystyle \lim_{ x\to {1}} \frac{x^3-7x+6}{x^2-1}=

=\frac{1^3-7\cdot 1+6}{1^2-1}=\frac{0}{0}

Essendo 0/0 una forma indeterminata dobbiamo provare a scomporre la funzione per vedere se eventualmente è possibile semplificare qualche termine al numeratore e al denominatore:

Proviamo a scomporre il numeratore con la regola di Ruffini e il denominatore con somma e prodotto.

Per il numeratore, analizzando il termine noto della funzione (il numero 6) sappiamo che sono suoi divisori: ±1; ±2; ±3 e ±6 abbiamo visto però anche che +1 è uno zero dell’equazione per cui applicando Ruffini al numeratore possiamo scrivere:

\Large \begin{array}{c|ccc|c}& +1 & 0 & -7 & +6 \vspace{2}\\ \\+1 & & +1 & +1 & -6\\\hline& +1 & +1 & -6 & 0\\\end{array}

Per cui possiamo riscrivereil numeratore come: x3 – 7x + 6 = (x – 1)(x2 + x – 6)

Per il denominatore invece possiamo scrivere: x2 – 1 = (x + 1)(x – 1)

Quindi il limite di partenza possiamo scriverlo come:

\Large \displaystyle \lim_{ x\to {1}} \frac{x^3-7x+6}{x^2-1}=

=\lim_{ x\to {1}} \frac{(x-1)(x^2+x-6)}{(x+1)(x-1)}

Semplificando (x – 1) al numeratore e denominatore e poi sostituiamo il valore 1 a cui tende il limite, ottenendo:

\Large \displaystyle \lim_{ x\to {1}} \frac{(x^2+x-6)}{(x+1)}=

=\frac{(1^2+1-6)}{(1+1)}=\frac{(-4)}{(2)}=-2

Ottobre 26, 2022 , Analisi, Matematica No Comments »


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