[Analisi] Calcola il seguente limite: lim x->1/2 (2x^2+9x-5)/(4x^2-4x+1)

Matematica blu 2.0 vol.5 Esercizio: Es. 218 pag. 1529

Calcola il seguente limite:

\Large \displaystyle \lim_{ x\to \frac{1}{2}} \frac{2x^2+9x-5}{4x^2-4x+1}

Sostituendo nella funzione il valore a cui tende il limite otteniamo:

\Large \displaystyle \lim_{ x\to \frac{1}{2}} \frac{2x^2+9x-5}{4x^2-4x+1}=\\

=\frac{2(\frac{1}{2})^2+9(\frac{1}{2})-5}{4(\frac{1}{2})^2-4(\frac{1}{2})+1}=\\

=\frac{\frac{1}{2}+\frac{9}{2}-5}{1-2+1}=\frac{\frac{10}{2}-5}{0}=\frac{0}{0}

Essendo 0/0 una forma indeterminata dobbiamo provare a scomporre la funzione per vedere se eventualmente è possibile semplificare qualche termine al numeratore e al denominatore:
Riscrivendo il numeratore e il denominatore come segue:

NUM: 2x2+9x-5=0 calcoliamo il ∆=b2-4ac = 81-4∙2∙(-5) = 121 la cui radice è uguale a 11

x1/2=(-b±√Δ)/2a = (-9±11)/4 → x1 = (-9-11)/4 = -20/4 = -5; x2=(-9+11)/4 = 2/4 = 1/2

Quindi l’equazione al numeratore possiamo scriverla come:

2(x-1/2)(x+5) → (2x-1)(x+5)

Passiamo ora al denominatore:

DENOM: 4x2-4x+1 che è il quadtato di (2x-1)2 = (2x-1)(2x-1)

Quindi il limite di partenza possiamo scriverlo come:

\Large \displaystyle \lim_{ x\to \frac{1}{2}} \frac{2x^2+9x-5}{4x^2-4x+1}=

=\lim_{ x\to \frac{1}{2}} \frac{(2x-1)(x+5)}{(2x-1)(2x-1)}

Semplificando (2x-1) al numeratore e denominatore e poi sostituiamo il valore 1/2 a cui tende il limite, ottenendo:

\Large \displaystyle \lim_{ x\to \frac{1}{2}} \frac{(x+5)}{(2x-1)} =

=\frac{(\frac{1}{2}+5)}{(2\cdot \frac{1}{2}-1)}=\frac{\frac{11}{2}}{0}=+\infty

Ottobre 24, 2022 , Analisi, Matematica No Comments »


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