[Analisi] Calcola il seguente limite: lim x->1 (x^3-1)/(x^4-1)

Matematica blu 2.0 vol.5 Esercizio: Es. 217 pag. 1529

Calcola il seguente limite:

$\Large \displaystyle \lim_{ x\to 1} \frac{x^3-1}{x^4-1}$

Sostituendo nella funzione il valore a cui tende il limite otteniamo:

$\Large \displaystyle \lim_{ x\to 1} \frac{x^3-1}{x^4-1}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}$

Essendo 0/0 una forma indeterminata dobbiamo provare a scomporre la funzione per vedere se eventualmente è possibile semplificare qualche termine al numeratore e al denominatore:
Riscrivendo il numeratore e il denominatore come segue:

$\Large \displaystyle \lim_{ x\to 1} \frac{x^3-1}{x^4-1}=\lim_{ x\to 1} \frac{x^3-1^3}{(x^2)^2-(1^2)^2}$

Possiamo ora scomporre il numeratore e il denominatore utilizzando le seguenti formule:

$\Large \displaystyle (a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\ (a^2-b^2)=(a+b)(a-b)$

Quindi avremo:

$\Large \displaystyle \lim_{ x\to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x^2+1)(x^2-1)$

Possiamo ancora scomporre (x²-1)=(x+1)(x-1) ottenendo:

$\Large \displaystyle \lim_{ x\to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x^2+1)(x+1)(x-1)$

Semplificando (x-1) al numeratore e denominatore avremo:

$\Large \displaystyle \lim_{ x\to 1} \frac{(x^2+x+1)}{(x^2+1)(x+1)}$

Sostituendo ora il valore 1 a cui tende il limite otterremo:

$\Large \displaystyle \lim_{ x\to 1} \frac{(x^2+x+1)}{(x^2+1)(x+1)}=\frac{(1+1+1)}{(1+1)(1+1)}=\frac{3}{4}$

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