Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa BC il cui angolo in B è π/6 e il lato BC = 2a

Bentornati. Oggi riporto su questa pagina del sito un problema di trigonometria svolto insieme alla nostra amica Michela che frequenta la classe IV di un liceo di Roma.

Cominciamo? OK!

Exe n. 5 pag 307

`Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa BC il cui angolo in B è π/6 e il lato BC = 2a. Tracciare la semicirconferenza di diametro BC che non contiene A e considera su di essa un punto P e indicare con H, K e R rispettivamente le proiezioni di P sulla retta AC, sulla retta AB e sulla retta BC. Determina quindi l'angolo PBC = x in modo che PH+PK=(1+√3)•PR.`

DATI DEL PROBLEMA:
$\Large \beta=\frac{\pi}{6}=30^\circ$

$\Large \gamma=\frac{\pi}{3}=60^\circ$
BC = 2a
$\Large P\widehat{B}C=x$
$\Large P\widehat{C}B=90^\circ -x$

Consideriamo il triangolo rettangolo BCP e calcoliamo il cateto PB che è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente e il cateto PC che è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto:
$\Large PB=BC\cdot\; \cos x=2a\cdot\; \cos x$

$\Large PC=BC\cdot\; \sin x=2a\cdot\; \sin x$

Consideriamo il triangolo rettangolo PBK e calcoliamo la misura del cateto PK che è uguale all’ipotenusa PB per il seno dell’angolo opposto:

$\Large PK=PB\cdot\; \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$

Consideriamo il triangolo rettangolo PRC e calcoliamo la misura del cateto PR che è uguale all’ipotenusa PC per il seno dell’angolo opposto che è 90°-x:
$\Large PR=PC\cdot\; \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
per gli archi associati essendo:
$\Large \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$
avremo:
$\Large PR=PC\cdot\; \cos x$

Consideriamo il triangolo rettangolo PCH di ipotenusa PC il cui angolo PCH è 180° – [γ+(90-x)] = 180° – (60°+ 90°-x) = 180° – (150°-x) = 180° – 150°+x = 30°+x quindi l’angolo PCH = (x+30°). Ora possiamo calcolare il cateto PH che è uguale all’ipotenusa PC per il seno dell’angolo opposto (x+30°) per cui avremo:

$\Large PR=PC\cdot\; \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$

Partiamo ora dalla formula per il calcolo di PK:
$\Large PK=PB\cdot\; \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$

Calcoliamo il sin(x+π/6) = sin x• cos(π/6) + cos x•sin(π/6)

Ora nella formula di PK sostituiamo PB trovato in precedenza e sin(x+π/6) appena trovato ottenendo:

$\Large PK = 2a \cdot\; \cos x \cdot\; \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\; \sin x+\frac{1}{2}\cdot\; \cos x \right)$

$\Large PK = 2a \cdot\; \cos x \cdot\; \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\; \sin x+\frac{1}{2}\cdot\; \cos x \cdot\; 2a \cos x$

Semplifichiamo i 2 al numeratore e al denominatore; dove è possibile, moltiplichiamo i vari termini, ottenendo:

$\Large PK = a\cdot\; \sqrt{3} \cdot\; \sin x \cdot\; \cos x +a\cdot\; \cos^2 x$

Consideriamo ora la formula per il calcolo di PR:
$\Large PR=PC\cdot\; \cos x$
Sostituiamo PC, ottenendo:

$\Large PR=2a\cdot\; \sin x\cdot\; \cos x$

Consideriamo ora la formula per il calcolo di PH:
$\Large PH=PC\cdot\; \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$
Sostituiamo nella formula i valori di PC e il sin(x+π/6) = sin x•cos(π/6) + cos x•sin(π/6), ottenendo:
$\Large PH=2a \cdot\; \sin x \cdot\; \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\; \sin x+\frac{1}{2}\cdot\; \cos x \right)$
$\Large PH=2a \cdot\; \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot\; \sin^2 x+2a \cdot\; \frac{1}{2}\cdot\; \sin x \cdot\; \cos x$
Semplifichiamo i 2 al numeratore e al denominatore; dove è possibile moltiplichiamo i vari termini, ottenendo:

$\Large PH=a\cdot\; \sqrt{3} \cdot\; \sin^2 x+a \cdot\; \sin x \cdot\; \cos x$

A questo punto possiamo scrivere la formula da verificare e cioè:
PH+PK=(1+√3)•PR in cui sostituendo tutti i valori finora trovati avremo:

$\Large a \cdot\sqrt{3} \cdot \sin^2 x+a \cdot \sin x \cdot \cos x+a\cdot \sqrt{3} \cdot \sin x \cdot \cos x +a\cdot \cos^2 x =(1+\sqrt{3})\2a\cdot \sin x \cdot \cos x$

Osservando i vari termini dell’uguaglianza possiamo dividere ambo i membri per a, ottenendo:

$\Large \sqrt{3} \cdot \sin^2 x+\sin x \cdot \cos x+\sqrt{3} \cdot \sin x \cdot \cos x +\cos^2 x =(1+\sqrt{3})\2\cdot \sin x \cdot \cos x$

Moltiplichiamo e portiamo tutto al I° membro, ottenendo:

$\Large \sqrt{3} \cdot \sin^2 x+\sin x \cdot \cos x+\sqrt{3} \cdot \sin x \cdot \cos x +\cos^2 x -2\cdot \sin x \cdot \cos x-2\cdot\sqrt{3}\cdot \sin x \cdot \cos x=0$

Sommiamo i termini simili, ottenendo:

$\Large \sqrt{3} \cdot \sin^2 x-\sin x \cdot \cos x-\sqrt{3} \cdot \sin x \cdot \cos x +\cos^2 x=0$

Mettiamo in evidenza i termini noti ottenendo:

$\Large \sqrt{3} \cdot \sin^2 x-(1+\sqrt{3})\sin x \cdot \cos x +\cos^2 x=0$

A questo punto è conveniente dividere ambo i membri dell’equazione per cos²(x) ottenendo:

$\Large \sqrt{3} \cdot \tan^2 x-(1+\sqrt{3})\tan x +1=0$

Abbiamo ottenuto un’equazione di secondo grado in tan(x) che andiamo a risolvere.

Per prima cosa calcoliamo il Delta:
$\Large \Delta=b^2-4ac$
$\Large \Delta=(-1-\sqrt3)^2-4\cdot\sqrt3$
$\Large \Delta=1+3+2\sqrt3-4\cdot\sqrt3$

$\Large \Delta=4-2\sqrt3$

Calcoliamo ora la tan(x)_1/2
$\Large \tan x_{1/2} =\frac{1+\sqrt3\mp\sqrt{4-2\sqrt3}}{2\sqrt3}$

La formula precedente, portando il 2 sotto radice, possiamo anche scriverla come:

$\Large \tan x_{1/2} =\frac{1+\sqrt3\mp\sqrt{4-\sqrt{12}}}{2\sqrt3}$

A questo punto se i calcoli svolti finora sono esatti, l’unico modo percorribile per risolvere l’equazione è usare la formula del radicale doppio che riporto di seguito:

$\Large \sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{{a+\sqrt{a^2-b}}}{2}}-\sqrt{\frac{{a-\sqrt{a^2-b}}}{2}}$

Ora sostituendo a=4 e b=12 avremo:
$\Large \sqrt{4-\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{{4+\sqrt{4^2-12}}}{2}}-\sqrt{\frac{{4-\sqrt{4^2-12}}}{2}}$
$\Large \sqrt{4-\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{{4+2}}{2}}-\sqrt{\frac{{4-2}}{2}}$

$\Large \sqrt{4-\sqrt{12}}=\sqrt{3}-1$

Per cui sostituendo nell’equazione precedente avremo:
$\Large \tan x_{1} =\frac{1+\sqrt3-\sqrt3+1}{2\sqrt3}$
$\Large \tan x_{1} =\frac{2}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$
Che è la tangente di π/6 (30°)

Mentre
$\Large \tan x_{2} =\frac{1+\sqrt3+\sqrt3-1}{2\sqrt3}$
$\Large \tan x_{2} =\frac{1+\sqrt3+\sqrt3-1}{2\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{2\sqrt3}=1$
Che è la tangente di π/4 (45°)

per cui la formula da verificare e cioè: PH+PK=(1+√3)•PR è soddisfatta per:

$\Large x=\frac{\pi}{6}\;\vee \;x=\frac{\pi}{4}$

skuolablog Aprile 5, 2022 Esercizi di trigonometria, Trigonometria Matematica, Trigonometria No Comments »

Esercizi di preparazione al compito sulle espressioni aritmetiche

Esercizi per la preparazione al compito di matematica sulle frazioni

L	M	M	G	V	S	D
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

SkuolaBlog

BLOG DIDATTICO PERSONALE

Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa BC il cui angolo in B è π/6 e il lato BC = 2a

DATI DEL PROBLEMA:
$\Large \beta=\frac{\pi}{6}=30^\circ$

$\Large \gamma=\frac{\pi}{3}=60^\circ$
BC = 2a
$\Large P\widehat{B}C=x$
$\Large P\widehat{C}B=90^\circ -x$

Consideriamo il triangolo rettangolo BCP e calcoliamo il cateto PB che è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente e il cateto PC che è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto:
$\Large PB=BC\cdot\; \cos x=2a\cdot\; \cos x$

$\Large PC=BC\cdot\; \sin x=2a\cdot\; \sin x$

Consideriamo il triangolo rettangolo PBK e calcoliamo la misura del cateto PK che è uguale all’ipotenusa PB per il seno dell’angolo opposto:

$\Large PK=PB\cdot\; \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$

$\Large PR=PC\cdot\; \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$

Partiamo ora dalla formula per il calcolo di PK:
$\Large PK=PB\cdot\; \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$

Calcoliamo il sin(x+π/6) = sin x• cos(π/6) + cos x•sin(π/6)

Ora nella formula di PK sostituiamo PB trovato in precedenza e sin(x+π/6) appena trovato ottenendo:

Semplifichiamo i 2 al numeratore e al denominatore; dove è possibile, moltiplichiamo i vari termini, ottenendo:

Consideriamo ora la formula per il calcolo di PR:
$\Large PR=PC\cdot\; \cos x$
Sostituiamo PC, ottenendo:

A questo punto possiamo scrivere la formula da verificare e cioè:
PH+PK=(1+√3)•PR in cui sostituendo tutti i valori finora trovati avremo:

Osservando i vari termini dell’uguaglianza possiamo dividere ambo i membri per a, ottenendo:

Moltiplichiamo e portiamo tutto al I° membro, ottenendo:

Sommiamo i termini simili, ottenendo:

Mettiamo in evidenza i termini noti ottenendo:

A questo punto è conveniente dividere ambo i membri dell’equazione per cos²(x) ottenendo:

Abbiamo ottenuto un’equazione di secondo grado in tan(x) che andiamo a risolvere.

Per prima cosa calcoliamo il Delta:
$\Large \Delta=b^2-4ac$
$\Large \Delta=(-1-\sqrt3)^2-4\cdot\sqrt3$
$\Large \Delta=1+3+2\sqrt3-4\cdot\sqrt3$

Calcoliamo ora la tan(x)_1/2
$\Large \tan x_{1/2} =\frac{1+\sqrt3\mp\sqrt{4-2\sqrt3}}{2\sqrt3}$

La formula precedente, portando il 2 sotto radice, possiamo anche scriverla come:

A questo punto se i calcoli svolti finora sono esatti, l’unico modo percorribile per risolvere l’equazione è usare la formula del radicale doppio che riporto di seguito:

Ora sostituendo a=4 e b=12 avremo:
$\Large \sqrt{4-\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{{4+\sqrt{4^2-12}}}{2}}-\sqrt{\frac{{4-\sqrt{4^2-12}}}{2}}$
$\Large \sqrt{4-\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{{4+2}}{2}}-\sqrt{\frac{{4-2}}{2}}$

Per cui sostituendo nell’equazione precedente avremo:
$\Large \tan x_{1} =\frac{1+\sqrt3-\sqrt3+1}{2\sqrt3}$
$\Large \tan x_{1} =\frac{2}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$
Che è la tangente di π/6 (30°)

Mentre
$\Large \tan x_{2} =\frac{1+\sqrt3+\sqrt3-1}{2\sqrt3}$
$\Large \tan x_{2} =\frac{1+\sqrt3+\sqrt3-1}{2\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{2\sqrt3}=1$
Che è la tangente di π/4 (45°)

per cui la formula da verificare e cioè: PH+PK=(1+√3)•PR è soddisfatta per:

Lascia un commento Annulla risposta

SkuolaBlog

BLOG DIDATTICO PERSONALE

Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa BC il cui angolo in B è π/6 e il lato BC = 2a

DATI DEL PROBLEMA:

BC = 2a

Consideriamo il triangolo rettangolo BCP e calcoliamo il cateto PB che è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente e il cateto PC che è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto:

Consideriamo il triangolo rettangolo PBK e calcoliamo la misura del cateto PK che è uguale all’ipotenusa PB per il seno dell’angolo opposto:

Consideriamo il triangolo rettangolo PRC e calcoliamo la misura del cateto PR che è uguale all’ipotenusa PC per il seno dell’angolo opposto che è 90°-x:per gli archi associati essendo:avremo:

Partiamo ora dalla formula per il calcolo di PK:

Calcoliamo il sin(x+π/6) = sin x• cos(π/6) + cos x•sin(π/6)

Ora nella formula di PK sostituiamo PB trovato in precedenza e sin(x+π/6) appena trovato ottenendo:

Semplifichiamo i 2 al numeratore e al denominatore; dove è possibile, moltiplichiamo i vari termini, ottenendo:

Consideriamo ora la formula per il calcolo di PR:Sostituiamo PC, ottenendo:

Consideriamo ora la formula per il calcolo di PH:Sostituiamo nella formula i valori di PC e il sin(x+π/6) = sin x•cos(π/6) + cos x•sin(π/6), ottenendo:Semplifichiamo i 2 al numeratore e al denominatore; dove è possibile moltiplichiamo i vari termini, ottenendo:

A questo punto possiamo scrivere la formula da verificare e cioè:PH+PK=(1+√3)•PR in cui sostituendo tutti i valori finora trovati avremo:

Osservando i vari termini dell’uguaglianza possiamo dividere ambo i membri per a, ottenendo:

Moltiplichiamo e portiamo tutto al I° membro, ottenendo:

Sommiamo i termini simili, ottenendo:

Mettiamo in evidenza i termini noti ottenendo:

A questo punto è conveniente dividere ambo i membri dell’equazione per cos²(x) ottenendo:

Abbiamo ottenuto un’equazione di secondo grado in tan(x) che andiamo a risolvere.

Per prima cosa calcoliamo il Delta:

Calcoliamo ora la tan(x)1/2

La formula precedente, portando il 2 sotto radice, possiamo anche scriverla come:

A questo punto se i calcoli svolti finora sono esatti, l’unico modo percorribile per risolvere l’equazione è usare la formula del radicale doppio che riporto di seguito:

Ora sostituendo a=4 e b=12 avremo:

Per cui sostituendo nell’equazione precedente avremo:Che è la tangente di π/6 (30°)

MentreChe è la tangente di π/4 (45°)

per cui la formula da verificare e cioè: PH+PK=(1+√3)•PR è soddisfatta per:

Lascia un commento Annulla risposta

DATI DEL PROBLEMA:
$\Large \beta=\frac{\pi}{6}=30^\circ$

$\Large \gamma=\frac{\pi}{3}=60^\circ$
BC = 2a
$\Large P\widehat{B}C=x$
$\Large P\widehat{C}B=90^\circ -x$

Consideriamo il triangolo rettangolo BCP e calcoliamo il cateto PB che è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente e il cateto PC che è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto:
$\Large PB=BC\cdot\; \cos x=2a\cdot\; \cos x$

Partiamo ora dalla formula per il calcolo di PK:
$\Large PK=PB\cdot\; \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$

Consideriamo ora la formula per il calcolo di PR:
$\Large PR=PC\cdot\; \cos x$
Sostituiamo PC, ottenendo:

A questo punto possiamo scrivere la formula da verificare e cioè:
PH+PK=(1+√3)•PR in cui sostituendo tutti i valori finora trovati avremo:

Per prima cosa calcoliamo il Delta:
$\Large \Delta=b^2-4ac$
$\Large \Delta=(-1-\sqrt3)^2-4\cdot\sqrt3$
$\Large \Delta=1+3+2\sqrt3-4\cdot\sqrt3$

Calcoliamo ora la tan(x)_1/2
$\Large \tan x_{1/2} =\frac{1+\sqrt3\mp\sqrt{4-2\sqrt3}}{2\sqrt3}$

Ora sostituendo a=4 e b=12 avremo:
$\Large \sqrt{4-\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{{4+\sqrt{4^2-12}}}{2}}-\sqrt{\frac{{4-\sqrt{4^2-12}}}{2}}$
$\Large \sqrt{4-\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{{4+2}}{2}}-\sqrt{\frac{{4-2}}{2}}$

Per cui sostituendo nell’equazione precedente avremo:
$\Large \tan x_{1} =\frac{1+\sqrt3-\sqrt3+1}{2\sqrt3}$
$\Large \tan x_{1} =\frac{2}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$
Che è la tangente di π/6 (30°)

Mentre
$\Large \tan x_{2} =\frac{1+\sqrt3+\sqrt3-1}{2\sqrt3}$
$\Large \tan x_{2} =\frac{1+\sqrt3+\sqrt3-1}{2\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{2\sqrt3}=1$
Che è la tangente di π/4 (45°)