Esercizi per la preparazione al compito di matematica sulle frazioni

Bentornati. Oggi riporto su questa pagina del sito lo svolgimento di alcuni esercizi sulle frazioni che se seguirete con attenzione vi aiuteranno a non fare errori al compito che faremo dopo Pasqua.

Cominciamo? OK!

Esercizi sulle frazioni

Scrivi la frazione rappresentata in figura:

Come possiamo vedere in questa figura è rappresentato un intero. In quante parti è stato diviso l’intero? Contando le parti vediamo che l’intero è stato diviso in 12 parti. Ora vediamo di queste parti quante ne abbiamo prese? (sono da considerare le sole parti colorate). Contando le parti colorate possiamo verificare che esse sono 7 parti. Quindi per quanto abbiamo studiato sulle frazioni, le parti in cui abbiamo diviso l’unità (12) va al denominatore; mentre le parti che abbiamo preso (7) va al numeratore per cui la frazione rappresentata in figura è:

consideriamo ora la seguente figura:

Come possiamo vedere questa figura potrebbe sembrare uguale alla precedente ma non lo è. Infatti in questo caso le unità da considerare sono due e non una. Facciamo lo stesso ragionamento di prima. In quante parti è stato diviso l’intero? Contando le parti vediamo che “ogni” intero (sia il primo che il secondo intero) è stato diviso in 6 parti. Ora vediamo di queste parti quante ne abbiamo prese? (sono da considerare le sole parti colorate). Contando le parti colorate possiamo verificare che esse sono 6 prese dal primo intero e 1 presa dal secondo intero quindi in totale 6+1=7 parti. Quindi per quanto abbiamo studiato sulle frazioni, le parti in cui abbiamo diviso ognuna delle due unità (6) va al denominatore; mentre le parti che abbiamo preso (7) va al numeratore per cui la frazione rappresentata in figura è:

Indica con una X la caratteristica di ogni frazione:

Come possiamo vedere in figura partendo dalla prima frazione vediamo subito che 15/3 è una frazione apparente in quando 15 : 3 = 5 con resto zero; così come l’ultima frazione 4/4 è apparente infatti 4 : 4 = 1 con resto zero!!! La seconda frazione 15/7 è una frazione impropria in quanto il numeratore è maggiore del denominatore; così come la quarta frazione 23/12 che è anch’essa impropria. La terza frazione 5/9 è una frazione propria in quanto il numeratore è minore del denominatore; così come la quinta frazione 11/18 che è anch’essa propria. Facile no??!!

Scrivi la frazione complementare:

La frazione complementare di una frazione propria è la frazione tale da completarla all’intero.

Cosa vuol dire completare una frazione all’intero? Una frazione indica una parte dell’intero: la sua complementare è la frazione che indica quanto manca per arrivare all’intero.

In altre parole, data una frazione propria, la sua frazione complementare è quella frazione che addizionata alla frazione data la loro somma è uguale a 1.
Supponiamo ad esempio di voler calcolare la frazione complementare della frazione 4/7.
La frazione complementare avrà sicuramente lo stesso denominatore cioè 7. Per calcolare il suo numeratore, ci basta fare la sottrazione DENOMINATORE – NUMERATORE ottenendo:
7 – 4 = 3 quindi 3 è il numeratore della frazione complementare
La frazione complementare di 4/7 è quindi 3/7. Infatti:
4/7 + 3/7 = 7/7 = 1
Anche questo è facile no??!!

Scrivi tre frazioni equivalenti a ogni frazione data:

Due frazioni sono equivalenti se dalla prima si può passare alla seconda moltiplicando (o dividendo) numeratore e denominatore per uno stesso numero.
C’è però un piccolo trucco per capire se due frazioni sono o non sono equivalenti.
Si moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione (questo risultato lo chiamiamo “prodotto 1“). Poi moltiplichiamo il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione (“prodotto 2“).
Le due frazioni si dicono equivalenti se:
“prodotto 1” = “prodotto 2” Proviamo con un esempio.

essendo il risultato di “prodotto 1” 6 x 2 = 12 uguale al rislutato di “prodotto 2” 3 x 4 = 12 le due frazioni sono equivalenti.
Quando l’esercizio vi chiede di scrivere tre frazioni equivalenti a quella data, se la frazione data è già ridotta ai minimi termini (cioè il numeratore e denominatore non sono entrambi divisibili per uno stesso numero) come vi avevo già consigliato in precedenza, la cosa più semplice è quella di moltiplicare numeratore e denominatore prima x2 poi x3 e ancora x10 per trovare le tre frazioni equivalenti.
Ad esempio se abbiamo 2/3, moltiplicando x2 avremo 2×2=4 e 3×2=6 cioè 4/6; moltiplicando x3 avremo 2×3=6 e 3×3=9 cioè 6/9; infine moltiplicando x10 dobbiamo solo aggiungere uno zero al numeratore e denominatore e avremo 20/30.
Anche questo mi sembra facile no??!!

Completa con il segno >, <, = oppure con una frazione adatta:

Si tratta di confrontare due frazioni e mettere il segno >, <, =.
Se le due frazioni hanno stesso DENOMINATORE è maggiore quella con numeratore maggiore, ad esempio se confrontiamo 4/7 con 2/7 naturalmente è maggiore 4/7 (infatti è come se io avessi diviso una torta in 7 parti uguali e quindi mangio di più se prendo 4 fette oppure 2 fette? Naturalmente 4 fette) fare attenzione però a quale delle due è scritta per prima, infatti:
4/7 > 2/7; invece 2/7 < 4/7

Se le due frazioni hanno stesso NUMERATORE è maggiore quella con denominatore minore, ad esempio se confrontiamo 4/9 con 4/11 è maggiore 4/9 (infatti in questo caso io prendo sempre 4 fette di torta però la prima torta, l’intero, è stata divisa in 9 parti mentre la seconda in 11 parti e quindi le fette della torta divisa in 11 parti sono più piccole di quella divisa in 9 parti) fare sempre attenzione a quale delle due frazioni è scritta per prima, infatti:
4/9 > 4/11; invece 4/11 < 4/9.

Vi ricordo che ad ogni modo esiste sempre il truccheto di moltiplicare incrociati il denominatore dell’una per il numeratore dell’altra; a prodotto maggiore corrisponde frazione maggiore come riportato nella seguente figura:

Se invece l’esercizio ci da una sola frazione con a fianco il segno >, <, = e la seconda frazione dobbiamo scriverla noi per rendere vera l’uguaglianza o la disuguaglianza procediamo come segue:
Se abbiamo ad esempio 8/15 > … in questo caso 8/15 deve essere maggiore della frazione che dobbiamo scrivere, come fare? Possiamo considerare una frazione avente stesso denominatore (15) e quindi la frazione maggiore sarà quella con numeratore maggiore per cui possiamo scrivere 8/15 > 7/15 (ma anche maggiore di 6/15, 5/15, 4/15 … e così via fino a 1/15).
Se invece avssimo avuto 8/15 < … in questo caso 8/15 deve essere minore della frazione che dobbiamo scrivere. Anche in questo caso possiamo considerare una frazione avente stesso denominatore (15) e quindi tra le due frazioni, la frazione minore sarà quella con numeratore minore per cui possiamo scrivere 8/15 < 9/15 (ma anche minore di 10/15, 11/15, 12/15 … e così via fino all’infinito, cioè al numeratore possiamo scrivere qualsiasi numero a partire da 9 fino a un numero grandissimo a piacere, infatti 8/15 < 564789/15).

Se invece avessimo avuto ad esempio 1/3 = … in questo caso dobbiamo scrivere una frazione che sia uguale a 1/3. In questo caso possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero e ottenere una frazione equivalente a quella data. E’ facile moltiplicare x2 ma soprattutto x10 perchè basta aggiungere uno zero al numeratore e uno zero al denominatore:

1/3 = 2/6 (abbiamo moltiplicato x2 numeratore e demominatore)
1/3 = 10/30 (abbiamo moltiplicato x10 numeratore e demominatore)

Anche questo mi sembra facile no??!!

Dall’intero alla frazione e dalla frazione all’intero:

Allora cosa dobbiamo ricordare in questo caso?

Se abbiamo l’intero e vogliamo calcolare una frazione di esso si procede dividendo l’intero per il denominatore e il risultato della divisione si moltiplica per il numeratore.

Se abbiamo invece una parte dell’intero (rappresentato da una frazione), per trovare l’intero questa volta dividiamo la parte dell’intero per il numeratore e il risultato della divisione si moltiplica per il denominatore.

Ad esempio se avessimo il seguente problema da risolvere: Anna ha 36 caramelle e ne regala i 2/6 a Lina. Quante caramelle sono state regalate a Lina?
In questo caso abbiamo l’intero (36 caramelle) e una parte di esso (i 2/6) vengono regalati. Come facciamo a trovare la frazione di caramelle regalate?
Semplice, basta dividere l’intero per il denominatore della frazione e poi moltiplicarlo per il numeratore:
36 : 6 = 6 da cui 6 x 2 = 12 (sono i 2/6 delle caramelle che Anna ha regalato a Lina)
E ad Anna quante caramelle restano?
Naturalmente 36 – 12 = 24 (caramelle rimanenti ad Anna).

Se invece ad esempio avessimo il seguente problema da risolvere: Il fornaio Andrea oggi ha incassato dalla vendita del solo pane € 105, che corrispondono ai 3/8 dell’intero incasso. Quanto ha incassato in tutto?
Quindi noi abbiamo una parte dell’incasso (€ 105 cioè i 3/5) e vogliamo calcolare l’intero incasso della giornata, non solo quello guadagnato con la vendita del pane ma anche con la vendita di pizza, biscotti, ecc. .
Anche in questo caso la soluzione è semplice, basta dividere la parte dell’incasso nota (€ 105) questa volta per il numeratore della frazione e poi moltiplicarlo per il denominatore:
€ 105 : 3 = € 35 da cui € 35 x 8 = € 280 (incasso totale dell’intera giornata di lavoro)
Anche questo non è difficile!!

Buon lavoro a tutti —– Maestra Ornella