[Geometria] Disegna una circonferenza di centro O e da un punto P esterno a essa conduci le tangenti A e B

Es.84 pag.190

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Disegna una circonferenza di centro O e da un punto P esterno a essa conduci le tangenti A e B. Traccia il diametro per A e dimostra che l’angolo OAB è congruente a metà dell’angolo formato dalle due tangenti.[/su_note]

[su_box title=”Ipotesi:”]HP: Circonferenza di centro O; AB = corda della circonferenza; P = punto da cui tracciamo le tangenti agli estremi della corda AB.[/su_box]

[su_box title=”Tesi:”]TH: l’angolo OAB è la metà dell’angolo APB.[/su_box]

Congiungiamo A con B ottenendo la corda AB. Dal “teorema delle tangenti ad una circonferenza” sappiamo che la retta che congiunge il punto esterno alla circonferenza con il suo centro è bisettrice dell’angolo formato dalle due tangenti. Nel nostro caso (vedi figura) PO è bisettrice dell’angolo APB per cui APO=BPO=α.
Consideriamo i due triangoli APO e MAO i quali hanno entrambi un angolo retto (gli angoli OAP=OMA=90°) e entrambi hanno un angolo in comune (angolo AOP coincidente con l’angolo AOM) per cui il terzo angolo di entrambi i triangoli sarà complementare all’angolo appena indicato e pertanto APO=OAM.
Siccome l’angolo APO=α anche l’angolo OAM=α ed essendo poi l’angolo APB=2α avremo che l’angolo OAB=1/2 dell’angolo APB.

C.V.D.