[Geometria] Nel triangolo isoscele ABC di base AB segna sulla bisettrice CH un punto P

Esercizio n.52 pag. 53

[su_note note_color=”#faff66″ ]Nel triangolo isoscele ABC di base AB segna sulla bisettrice CH un punto P. La semiretta AP incontra BC nel punto E e la semiretta BP incontra AC nel punto F. Dimostra che l’angolo .[/su_note]

[su_box title=”Ipotesi:”]HP: ABC = triangolo isoscele[/su_box]
[su_box title=”Tesi:”]TH: angolo [/su_box]

Essendo per ipotesi ABC un triangolo isoscele su base AB avrà i lati obliqui e gli angoli alla base .
Essendo per ipotesi CH=bisettrice dell’angolo in (ma in un triangolo isoscele CH è anche altezza e mediana) avremo che gli angoli .

Consideriamo ora i due triangoli ACP e BCP che risultano essere congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli in quanto hanno AC ≅ BC per ipotesi (sono lati obliqui del triangolo isoscele ABC); il lato CP è in comune e gli angoli per ipotesi (angolo in diviso in due angoli uguali dalla bisettrice CH) quindi avranno uguali tutti gli altri elementi, in particolare i lati AP ≅ BP e gli angoli .

Consideriamo ora gli angoli  che risultano congruenti in quanto opposti al vertice. Da ciò ricaviamo che  per differenza di angoli congruenti infatti  e . 

Consideriamo infine i triangoli FPC e EPC che hanno il lato PC in comune, gli angoli adiacenti  per ipotesi (angolo in diviso in due angoli uguali dalla bisettrice CH), e gli angoli per differenza di angoli uguali e pertanto i due triangoli risultano congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli e avranno uguali tutti gli altri elementi, in particolare gli angoli .

C.V.D.

Avremmo potuto anche dimostrarlo in altro modo con qualche passaggio in più. Riporto per intero tutta la seconda dimostrazione anche se la prima parte è la stessa:

Essendo per ipotesi ABC un triangolo isoscele su base AB avrà i lati obliqui e gli angoli alla base .
Essendo per ipotesi CH=bisettrice dell’angolo in (ma in un triangolo isoscele è anche altezza e mediana) avremo che gli angoli .

Consideriamo ora i due triangoli ACP e BCP che risultano essere congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli in quanto hanno AC ≅ BC per ipotesi (sono lati obliqui del triangolo isoscele ABC); il lato CP è in comune e gli angoli per ipotesi (angolo in diviso in due angoli uguali dalla bisettrice CH) quindi avranno uguali tutti gli altri elementi, in particolare i lati AP ≅ BP e gli angoli .

Consideriamo ora i triangoli BPE e APF che risultano congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli in quanto hanno i lati AP ≅ BP (lo abbiamo dimostrato in precedenza), gli angoli (dimistrato in precedenza) e gli angoli perchè opposti al vertice quindi avranno uguali tutti gli altri elementi, in particolare gli angoli , i lati PE ≅ PF e BE ≅ AF.

Consideriamo infine i triangoli FPC e EPC che hanno il lato PC in comune, i lati CE ≅ CF per differenza di lati uguali (AC-AF ≅ BC-BE), gli angoli per ipotesi (angolo in diviso in due angoli uguali dalla bisettrice CH), pertanto i due triangoli risultano essere congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli e avranno uguali tutti gli altri elementi, in particolare gli angolo .

C.V.D.