[Geometria] Condizione necessaria e condizione sufficiente

Condizione necessaria

Affinchè avvenga «una cosa», deve verificarsi (cioé  é necessario che si verifichi) «una condizione». Per esempio, affinchè «io possa avere la patente per guidare l’automobile», devo  «essere maggirerenne».
L’essere maggiorenne e condizione necessaria affinchè io possa avere la patente. In altri termini, se non fossi maggiorenne, non potrei avere la patente.

Vale B (sono maggiorenne)  ==> vale  A (posso prendere la patente)
Questo implica che B è condizione NECESSARIA  per A
B è l’ipotesi, A è la tesi: se è vera B   allora è vera  A
Perché “necessaria”?
Perché, se non si verifica B, non può verificarsi neppure A (non posso prendere la patente se prima non raggiungo la maggiore età)

Altro Esempio:
Tommaso suona il pianoforte (IPOTESI B)  ==> Tommaso è un musicista (TESI A)
Condizione necessaria perché Tommaso suoni il pianoforte è che sia un musicista
La condizione non è sufficiente: Pietro è un musicista ma non suona il pianoforte (suona il violino)

L’insieme  A è l’insieme a cui appartengono gli oggetti che soddisfano la condizione necessaria; per poter stare in B è necessario stare in A, perché B è contenuto in A

Condizione sufficiente

Affinchè avvenga «una cosa», basta (é sufficiente) che si verifichi «una condizione».
Per esempio, affinchè «io sia italiano», basta che «io sia campano». L’essere campano e condizione sufficiente affinchè io sia italiano. In altri termini, se sono campano, allora sono italiano.

Questo implica che Q è condizione SUFFICIENTE per P
Vale Q  ==> vale P
Q è l’ipotesi (sono campano), P è la tesi (allora sono italiano): se è vera Q  allora è vera  P
Perché “sufficiente”?
Perché  mi basta sapere che Q è vera per poter dire che è vera anche P (infatti se non sono campano, non è detto che io non sia italiano; potrei essere di una delle altre 19 regioni italiane)

Altro esempio
Laura è una nuotatrice (IPOTESI Q) ==> Laura è una sportiva (TESI P)
Condizione sufficiente  perché Laura sia una sportiva è che sia una nuotatrice
La condizione non è necessaria: Maria  non è una nuotatrice ma non per questo non è sportiva (gioca a pallavolo)

L’insieme  Q è l’insieme a cui appartengono gli oggetti che soddisfano la condizione sufficiente: è sufficiente   stare in Q per stare anche in P  perché Q è contenuto in P.

Condizione necessaria e sufficiente

In generale, non e detto the una condizione necessaria sia anche sufficiente.
Per esempio, ritornando all’esempio della patente, perché una persona possa avere la patente, non basta che sia maggiorenne: deve anche aver superato l’esame.
Non e neppure detto che una condizione sufficiente sia anche necessaria.
Per esempio, se sono italiano, non e detto che io sia abruzzese.
Può però capitare che una condizione sia insieme necessaria e sufficiente.
Per esempio,  «segnare piu gol dell’avversario» é condizione necessaria e sufficiente per «vincere una partita di calcio». Infatti per vincere una partita basta (é sufficiente) segnare piu gol. D’altra parte, per vincere la partita si devono (e necessario) segnare più gol.

Dato un teorema (un’implicazione) che chiamiamo diretta, da questo si possono ricavare altre tre implicazioni, non necessariamente vere: inversa, contraria, contronominale.

• Diretta :   Se I allora T  ( in simboli:  ) SI SUPPONE VERA
• Inversa: si ottiene scambiando l’ipotesi con la tesi.( ) NON SEMPRE E’ VERA
• Contraria:   se non I, allora non T    () NON SEMPRE E’ VERA
• Contronominale: se non T, allora non I   () E’ VERA

Esempio:

• Diretta : Se Tommaso suona il piano allora è un musicista
• Inversa: si ottiene scambiando l’ipotesi con la tesi.( T?I)  Se Tommaso è un musicista allora suona il piano ( non  è vero)
• Contraria: se non I, allora non T    ()  Se Tommaso non suona il piano allora non è un musicista (non è vero)
• Contronominale: se non T, allora non I   ()  Se Tommaso non è un musicista allora non suona il piano (vero).

TEOREMA INVERTIBILE
Se, supposta vera la diretta, è vera anche l’inversa allora il teorema è invertibile
In questo caso sono vere anche la contraria e la contronominale.
Esempio:

• Diretta: Se un triangolo è isoscele IPOTESI allora ha gli angoli alla base congruenti TESI
• Inversa: Se un triangolo ha due angoli congruenti IPOTESI allora è isoscele TESI

Le due implicazioni sono entrambe vere: il teorema è invertibile.
Ciascuna delle due condizioni è sia necessaria che sufficiente:
Condizione necessaria e sufficiente perché un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli congruenti
Se consideriamo i due insiemi:
A ={triangoli isosceli}
B ={triangoli con due angoli congruenti}
vediamo che i due insiemi coincidono perché   A⊆B   e B⊆A, quindi A =B