[Geometria] – I triangoli

In questo articolo parleremo brevemente dei triangoli. In riferimento alla figura sotto riportata avremo la seguente legenda:

A, B, C vertici del triangolo

AB, BC, CA lati del triangolo

a, b, c lunghezza dei lati del triangolo

α, β, γ angoli interni del triangolo

AH : altezza relativa al lato BC

AM : mediana relativa al lato BC

AI : bisettrice dell’angolo α

r : asse relativo al lato BC

P perimetro

p semiperimetro

A area

Definizioni

Si definiscono:

• altezza relativa ad un lato il segmento perpendicolare condotto dal vertice opposto al lato (nel nostro caso in riferimento al lato BC l’altezza è il segmento AH);
• mediana relativa a un lato il segmento che unisce il punto medio del lato con il vertice opposto (nel nostro caso in riferimento al lato BC la mediana è il segmento AM);
• bisettrice di un angolola semiretta uscente dal vertice dell’angolo e che divide a metà l’angolo considerato (nel nostro caso in riferimento all’angolo α la bisettrice è il segmento AI)
• asse di un lato la retta perpendicolare al lato e passante per il suo punto medio (nel nostro caso in riferimento al lato BC l’asse è la retta r)

Relazioni tra gli elementi di un triangolo

• In ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza:
  • |b-c| < a < (b+c)
  • |a-c| < b < (a+c)
  • |a-b| < c < (a+c)

• In ogni triangolo, a lato maggiore (minore) si oppone angolo maggiore (minore) e viceversa:
  • a > b <=> α > β

• In ogni triangolo la somma degli angoli interni è uguale a 180°
  • α + β + γ = 180°

• In ogni triangolo la somma degli angoli esterni è uguale a 360°
  • α’ + β’ + γ’ = 360° (con α’ = β + γ;  β’ = α + γ;  γ’ = α + β )

Classificazione dei triangoli secondo i lati

un triangolo è detto:

• Scaleno se a ≠ b ≠ c
• Isoscele se b = c (o a = b  o  a = c)
• Equilatero se a = b = c

Classificazione dei triangoli secondo gli angoli

un triangolo è detto:

• Acutangolo se α, β, γ < 90°
  
• Ottusangolo se α  o  β  o  γ > 90°
  
• Rettangolo se α  o  β  o  γ = 90°

Perimetro e area dei triangoli

Perimetro di un triangolo: 

Semiperimetro di un triangolo:

Area di un triangolo:

Formula di Erone

Serve a calcolare l’area di un triangolo qualunque conoscendo le misure dei lati

Oppure:

dove r ed R sono i raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte.

Raggio della circonderenza inscritta

Raggio della circonderenza circoscritta