[Geometria] – Oggetti geometrici e proprietà

Gli enti primitivi

Sono enti primitivi per la geometria il punto, la retta e il piano. Di essi non si dà una definizione e costituiscono la base per definire tutti gli altri enti della geometria.
Oltre a questi tre enti primitivi occorre poi assumere l’esistenza di tre relazioni primitive tra gli enti geometrici:
giacere su, stare fra, essere congruente a. Queste relazioni permettono di stabilire dei legami tra gli enti geometrici, per esempio: “un punto giace su una retta”, “un punto sta fra altri due punti”, “un segmento è congruente a un altro segmento”, …
Esiste una simbologia convenzionale condivisa dagli studiosi per indicare questi enti:
• per indicare un punto usiamo una lettera maiuscola, A, B, C, D, …;
• per indicare una retta usiamo una lettera minuscola, a, b, c, d, …;
• per indicare un piano usiamo una lettera greca: α , β, γ , δ, …. .

Postulati

Un postulato, o assioma, è una proposizione, spesso intuitiva, evidente ma non dimostrata, ammessa come vera in quanto necessaria per costruire poi le dimostrazioni dei teoremi.
Euclide nei suoi Elementi aveva individuato un gruppo di cinque assiomi, che riguardano le nozioni comuni e quindi non fanno riferimento alla geometria, e un gruppo di cinque postulati che riguardano proprietà geometriche.

Assiomi di Euclide
I. Cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali anche tra loro.
II. Se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali.
III. Se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali.
IV. Cose che coincidono fra loro sono uguali.
V. Il tutto è maggiore della parte.

Postulati di Euclide
I. Si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.
II. Un segmento si possa prolungare indefinitamente in linea retta.
III. Si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio.
IV. Tutti gli angoli retti siano uguali tra loro.
V. Se una retta che taglia due rette forma dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, prolungando illimitatamente le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.

Nella figura, la retta a taglia le rette b e c, formando sul lato destro due angoli e la cui somma è minore di due angoli retti. Prolungando opportunamente le rette b e c risulta che esse si incontrano sul lato destro della figura.

I Teoremi

I teoremi sono enunciati la cui verità puo essere dimostrata a partire dai postulati o da altri teoremi. Una dimostrazione e una sequenza di deduzioni che, partendo da affermazioni considerate vere (ipotesi), fa giungere a una nuova affermazione (tesi).
In seguito scriveremo spesso l’enunciato del teoremi mediante la struttura linguistica «Se…, allora…».
La frase che segue il «se» e l’ipotesi, ossia cio che supponiamo vero; quella dopo «allora» e la tesi, ossia l’affermazione da dimostrare.

•  ESEMPIO Enunciato del teorema:
«Se un triangolo e isoscele, allora ha due angoli congruenti».
Ipotesi «Un triangolo e isoscele».     Tesi « (Il triangolo) ha due angoli congruenti» .

Se in un teorema vengono scambiate l’ipotesi e la tesi, si ottiene la proposizione inversa che, se risulta valida, prende il nome di teorema inverso (o reciproco).

• ESEMPIO Inverso del teorema precedente:
«Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora esso e isoscele».
Ipotesi  «Due angoli di un triangolo sono congruenti».    Tesi «(Il triangolo) è isoscele».

Quando un teorema è l’immediata conseguenza di un altro teorema, viene chiamato corollario.

ASSIOMI DI APPARTENENZA: “giacere su”:

I. Per due punti distinti di un piano passa una ed una sola retta che contiene entrambi i punti.

Precisiamo quindi che la retta NON può essere costituita da un solo punto.

II. Su una retta ci sono almeno due punti (ogni retta contiene almeno due punti). Esistono almeno tre punti che non giacciono su questa retta.

Due punti A e B giacciono sempre su un retta, questa retta è unica, esiste sempre almeno un terzo punto C che non giace sulla retta r.

III.Per ogni retta di un piano esiste almeno un punto del piano che non appartiene alla retta.

Con il precedente postulato, vogliamo evitare che si possa pensare che il piano sia costituito soltanto da una retta.

Dati tre punti non allineati, esiste uno e un solo piano che contiene tutti e tre i punti. Ogni piano contiene almeno un punto.

Per tre punti non allineati, A, B, C, passa un uno ed un solo piano π , questo piano è unico.

IV. Se due punti di una retta giacciono su un piano, allora anche tutti gli altri punti della retta giacciono su questo piano.

Se i punti A e B giacciono sul piano π , tutti i punti della retta r, che contiene i punti A e B, giacciono sul piano π .

V. Se un punto giace su due piani distinti, allora esiste almeno un altro punto giacente su entrambi questi piani.
VI. Esistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano.

ASSIOMI DI ORDINAMENTO: “stare fra”:

VII. Se un punto B giace fra i punti A e C, allora i punti A, B e C sono tre punti distinti sulla stessa retta, e B giace fra C ed A.

Se B sta tra A e C, allora sta anche tra C e A, e i tre punti sono allineati.

VIII. Dati due punti A e C, esiste almeno un punto B, sulla retta AC, giacente fra di essi.
XI. Dati tre punti qualsiasi di una retta, uno e uno solo di essi giace fra gli altri due.
Gli ultimi assiomi ci permettono di dedurre il seguente:

TEOREMA. Tra due punti di una retta esiste sempre una quantità illimitata di altri punti.