Posizione di una retta rispetto a una parabola

Es.152 pag. 344

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Date la parabola y=x²-2x+7 e la retta r di equazione y=2x-1, determina l’equazione della retta parallela a r passante per il vertice della parabola e calcola le coordinate dei punti di intersezione di tale retta con la parabola.[/su_note]

Si tratta di calcolare la posizione di una retta rispetto a una parabola.

Dobbiamo scrivere l’equazione di una retta parallela alla retta data (r) cioè avente stesso coefficiente angolare della retta data (m’ = 2) e dovrà passare per il vertice della parabola V. Calcoliamo le coordinate del vertice V:

$V$-\frac{b}{2a}; \;\;-\frac{\Delta}{4a}$$

dove $\Delta=b^2-4ac=4-28=-24$ sostituendo:

$V$-\frac{-2}{2}; \;\;-\frac{-24}{4}$$

$V$1;\;\; 6$$

la nostra retta s parallela alla retta r avrà per equazione y=2x+q (stesso coefficiente angolare di r); poiché sappiamo che passa per il vertice, sostituiamo le coordinate di V nell’equazione della retta e calcoliamo q;

y=2x+q ⇒ 6=2+q ⇒ q=4 quindi l’equazione della retta parallela ad r e passante per V sarà:
y=2x+4

Per calcolare le coordinate dei punti di intersezione della retta s con la parabola mettiamo a sistema le due equazioni:

$\begin{cases}y=x^2-2x+7 \\y=2x+4\end{cases}$