Determinare l’equazione della circonferenza

Es.221 pag.276

Fra le circonferenze di centro C(-2; 3) determina quella:
a) passante per il punto P(1; 1);
b) tangente alla bisettrice del primo e terzo quadrante;
c) avente il raggio lungo 5.

a) Bisogna determinare l’equazione della circonferenza passante per P. Se la circonferenza deve passare per P questo significa che CP = raggio. Calcolo pertanto la distanza CP
$\overline{CP} = \sqrt{(x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2}$

$\overline{CP} = \sqrt{(1+2)^2+(1-3)^2}$

$\overline{CP} = \sqrt{9+4}= \sqrt{13}$

Scriviamo ora l’equazione della circonferenza conoscendo Centro C(-2; 3) e Raggio = $\sqrt{13}$ :
$(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2$

$(x+2)^2+(y-3)^2=(\sqrt{13})^2$

$x^2+4x+4+y^2-6y+9=13$

$x^2+y^2+4x-6y=0$ quindi la circonferenza passa per P quando c=0

b) la bisettrice del I e III quadrante ha equazione y=x cioè x-y=0. Calcolo la distanza del centro C(-2; 3) dalla retta tangente alla circonferenza che è uguale al raggio:
$d=r=\frac{\middle|ax_C+by_C+c\middle|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$d=r=\frac{\middle|1(-2)-1(3)\middle|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

$d=r=\frac{\middle|-2-3\middle|}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}$

Scriviamo ora l’equazione della circonferenza conoscendo Centro e Raggio:
$(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2$

$(x+2)^2+(y-3)^2=$\frac{5}{\sqrt{2}}$^2$

$x^2+4x+4+y^2-6y+9-\frac{25}{2}=0$

$x^2+y^2+4x-6y+\frac{8+18-25}{2}=0$

$x^2+y^2+4x-6y+\frac{1}{2}=0$ quindi per c=1/2 la circonferenza è tangente alla bisettrice del primo e terzo quadrante; moltiplico ambo i membri per 2 (mcm)
$2x^2+2y^2+8x-12y+1=0$

c) in questo caso abbiamo C(-2; 3) e r = 5
Scriviamo ora l’equazione della circonferenza conoscendo Centro e Raggio:
$(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2$

$(x+2)^2+(y-3)^2=(5)^2$

$x^2+4x+4+y^2-6y+9=25$

$x^2+4x+4+y^2-6y+9-25=0$

$x^2+y^2+4x-6y+4+9-25=0$

$x^2+y^2+4x-6y-12=0$ quindi la circonferenza ha raggio lungo 5 quando c= -12

skuolablog Dicembre 13, 2014 G.A. Circonferenza, Geometria Analitica Geometria Analitica 2 Comments »

Rette del fascio tangenti, secanti, esterne alla circonferenza

Equazione della circonferenza noto il diametro

2 Commentsto Determinare l’equazione della circonferenza

sofia ha detto:

16/05/2022 alle 22:50

ma nell’esercizio b con che criterio ha stabilito che a = 1 e b = -1 ?
Grazie

Rispondi
- skuolablog ha detto:
  
  17/05/2022 alle 19:22
  
  Non l’ho stabilito con nessun criterio. Ho solo considerato l’equazione della retta y=x (bisettrice) che possiamo scrivere anche come x-y=0 (che devi considerare come equazione generica della retta ax+by+c=0) nel nostro caso il coefficiente ‘a’ della x è =1, il coefficiente ‘b’ della y è =-1 e il coefficiente ‘c’ del termine noto è =0.
  Spero di essermi spiegato bene.
  
  Un saluto.
  
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