Rette del fascio tangenti, secanti, esterne alla circonferenza

Es.157 pag.276

Trova tra le rette del fascio di centro P (0; 2) quelle secanti, tangenti, esterne alla circonferenza di equazione x² + y² -8x +12 = 0

Dobbiamo trovare le rette del fascio tangenti, secanti, esterne alla circonferenza. Calcoliamo per prima cosa centro e raggio della circonferenza:
$C=$-\frac{a}{2}\;;\;\;-\frac{b}{2}$$

$C=$-\frac{-8}{2}\;;\;\;-\frac{0}{2}$$

$C=$4\;;\;\; 0$$

Raggio della circonferenza
$r=\sqrt{$-\frac{a}{2}$^2+$-\frac{b}{2}$^2-c}$

$r=\sqrt{(4)^2+(0)^2-12}=\sqrt{16+0-12}=\sqrt{4}=2$

Il fascio generico di rette passante per il punto P(0; 2= ha equazione:
y-2=m(x-0) ⇒ mx-y+2=0

Le rette per essere tangenti alla circonferenza devono essere distanti 2 (raggio) dalla retta di equazione mx-y+2=0 (retta tangente passante per P)
Calcoliamo la distanza della retta dal punto P e poi, dovendo essere tangente, la poniamo = raggio
$d=\frac{\middle|ax_P+by_P+c\middle|}{\sqrt{a^2+b^2}$

$\frac{\middle|m\cdot 4-1\cdot 0+2\middle|}{\sqrt{m^2+1}}=2$ moltiplico ambo i membri per $\sqrt{m^2+1}$

$\sqrt{m^2+1}\cdot \frac{\middle|4m+2\middle|}{\sqrt{m^2+1}}=2\cdot \sqrt{m^2+1}$

$\middle|4m+2\middle|=2\cdot \sqrt{m^2+1}$ elevo al quadrato ambo i membri

$(4m+2)^2=(2\cdot \sqrt{m^2+1})^2$

$(16m^2+16m+4)=4(m^2+1)$

$16m^2+16m+4-4m^2-4=0$

$12m^2+16m=0$

$4m(3m+4)=0$ annullamento del prodotto

$4m=0 \Rightarrow m_1=0$

$3m+4=0 \Rightarrow m_2=-\frac{4}{3}$
quindi si avrà che per $m_1=0$ ed $m_2=-\frac{4}{3}$ le due rette sono tangenti alla circonferenza;
sono secanti per $-\frac{4}{3}< m < 0$ ;
sono esterne alla corconferenza per $m<-\frac{4}{3}\vee m>0$