Trovare l’equazione della circonferenze γ1 di centro C(2; 1) e tangente alla retta di equazione 4x-3y=0

Es. di Geometria Analitica n.396 pag.414

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Trovare l’equazione della circonferenze γ1 di centro C(2; 1) e tangente alla retta di equazione 4x-3y=0, e l’equazione della circonferenza γ2 passante per O(0; 0) e per il punto (√3; 1) e con un diametro che si trova sulla retta di equazione y=x+2. Considera per il punto P(-1; 3) e indicati con Q e R i punti di intersezione di γ1 e γ2 determina l’area del triangolo PQR.[/su_note]

Consideriamo la circonferenza γ1, sappiamo che questa ha per coordinate del centro C(2; 1) per cui possiamo scrivere che:

Mettiamo ora a sistema l’equazione generica della circonferenza con la retta 4x-3y=0; risolviamo il sistema, calcoliamo il Delta e lo poniamo uguale a zero dovendo essere retta e circonferenza tangenti:

Calcoliamo la x dalla 2^ equazione e la sostituiamo nella 1^ equazione:

dalla 4x-3y=0 avremo che x=3/4y che sostituiamo nella 1^ equazione:

Calcoliamo il Δ=b²-4ac

Moltiplichiamo ambo i membri per 16 e poniamo il Δ=0 ottenendo la 3^ equazione del nostro sistema a²+16b²+24ab-100c=0. Scriviamo il nostro sistema:

A questo punto sostituiamo a e b della 1^ e 2^ equazione nella 3^ equazione ottenendo:

9(-4)²+16(-2)²+24(-4)(-2)-100c=0

144+64+192-100c=0

c=400/100=4

Quindi ora possiamo scrivere la nostra equazione γ1:

x²+y²-4x-2y+4=0

Ora dobbiamo trovare l’equazione della circonferenza γ2 che sappiamo passa per i punti O(0; 0) e per il punto (√3; 1). Sostituiamo le coordinate di questi due punti nell’equazione generica della circonferenza: x²+y²+ax+by+c=0

Sostituendo le coordinate di O nell’equazione della circonferenza avremo:

c=0

Sostituendo le coordinate di (√3; 1) nell’equazione della circonferenza avremo:

√3a +b+c+4=0 sappiamo anche che c=0 per cui possiamo scrivere:

√3a +b+4=0

Per la terza condizione il testo dell’esercizio ci dice che un diametro si trova sulla retta di equazione y=x+2; questo vuol dire che se il diametro si trova su questa retta, si troverà su di essa anche il centro della circonferenza per cui possiamo scrivere le coordinate del centro in funzione di a e b e sostituirle alla x e y della retta per cui passa il diametro (x-y+2=0):

xc=-a/b; yc=-b/c per cui sostituendo avremo:

Moltiplichiamo ambo i membri per 2 ottenendo:

-a+b+4=0

Ora avendo le nostre tre condizioni possiamo scrivere il sistema:

Sostituiamo la b della 2^ nella 3^ equazione:

√3a+a-4+4=0
a(√3+1)=0
a=0

Sostituendo la a nella b=a-4 otteniamo che b=-4 per cui ora possiamo scrivere l’equazione di γ2:

x²+y²-4y=0

Troviamo ora i punti di intersezione tra γ1 e γ2

sottraendo membro a membro otteniamo:

-4x+2y+4=0
2y=4x-4
y=2x-2

Sostituiamo la y nella 2^ equazione ottenendo:

x²+(2x-2)²-4(2x-2)=0

x²+4x²-8x+4-8x+8=0

5x²-16x+12=0

Calcoliamo il Δ=b²-4ac

Δ=16²-4·5·12=16

x1=(16-4)/10=12/10=6/5

x2=(16+4)/10=20/10=2

Sostituiamo i valori di x1 e x2 ottenuti nell’equazione della retta y=2x-2 ottenendo:

per x=6/5; y = 2(6/5)-2 = 12/5-2 = 2/5

per x=2; y = 2(2)-2 = 4-2 = 2

Quindi i nostri vertici del triangolo sono: Q(6/5; 2/5) e R(2; 2) e il terzo ci viene dato dal testo P(-1; 3). Riportando i punti su un sistema di assi cartesiani avremo il seguente grafico:

Dove:

PJ=LK=3
PL=JK=3-2/5=13/5
QK=2-6/5=4/5
RK=2-2/5=8/5
JR=1
LQ=6/5+1=11/5

Area(LKJP) = LK·JK = 3·13/5 = 39/5
Area(KQR) = QK·RK·1/2 = 4/5·8/5·1/2 = 16/25
Area(PJR) = PJ·JK·1/2 = 4/5·8/5·1/2 = 16/25
Area(PQL) = PL·LQ·1/2 = 13/5·11/5·1/2 = 143/50

Area(PQR) = Area(LKJP) – Area(KQR) – Area(PJR) – Area(PQL)
Area(PQR) = 39/5-16/25-3/2-143/50 = (390-32-75-143)/50 = 140/50 = 14/5