Studia il fascio di circonferenze individuato dalle due circonferenze di equazioni x²+y²-2x+4y-2=0 e x²+y²-6y+8=0

Es. di Geometria Analitica n.371 pag.412

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Studia il fascio di circonferenze individuato dalle due circonferenze di equazioni x²+y²-2x+4y-2=0 e x²+y²-6y+8=0 e calcola per quale valore del parametro si ha la circonferenza con il centro sulla retta di equazione y=-8x. Determina poi il luogo descritto dai centri delle circonferenze del fascio e trova il raggio della circonferenza di ascissa 2.[/su_note]

Consideriamo l’equazione del fascio di circonferenze:

x²+y²-2x+4y-2+k(x²+y²-6y+8)=0

Mettiamo a sistema le due equazioni delle circonferenze generatrici del fascio:

$\begin{cases} \displaystyle x^2+y^2-2x+4y-2=0 \\\displaystyle x^2+y^2-6y+8=0 \end{cases}$

sottraendo membro a membro avremo:

-2x+10y-10=0

dividiamo ambo i membri per -2 ottenendo:

x-5y+5=0 equazione dell’asse radicale

dall’asse radicale calcoliamo la x=5y-5 e la sostituiamo nella 2^ equazione:

(5y-5)²+y²-6y+8=0

25y²+25-50y+y²-6y+8=0

26y²-56y+33=0

Calcoliamo il Δ=b²-4ac

Δ=(-56)²-4·26·33=-296<0

Essendo il Δ < 0 le due circonferenze non sono né secanti né tangenti.

Partiamo dall’equazione del fascio:

x²+y²-2x+4y-2+k(x²+y²-6y+8)=0

x²+y²-2x+4y-2+kx²+ky²-6ky+8k=0

(k+1)x²+(k+1)y²-2x+(4-6k)y+8k-2=0

dividiamo tutto per k-1

$x^2+y^2-\frac{2}{k+1}x+\frac{2(2-3k)}{k+1}y+8k-2=0$

Il testo dell’esercizio ci dice che dobbiamo trovare il parametro k per cui la circonferenza ha il centro sulla retta di equazione y=-8x; dall’equazione del fascio appena ottenuta calcoliamo le coordinate del centro in funzione di k, le sostituiamo nell’equazione della retta su cui si trova il centro, svolgiamo l’equazione trovando il parametro k.

$C\left ( -\frac{a}{2};\;-\frac{b}{2} \right )$

$C\left ( -\frac{-2}{2(k+1)};\;-\frac{2(2-3k)}{2(k+1)} \right )$

$C\left ( \frac{1}{k+1};\;\frac{3k-2}{k+1} \right )$

Ora sostituiamo le coordinate del centro nell’equazione y=-8x

$\frac{3k-2}{k+1}=-8\frac{1}{k+1}$

moltiplichiamo ambo i membri per k+1 ottenendo:

3k-2=-8 da cui k=-2

Determiniamo ora i centri delle due equazioni del fascio:

$C_1\left ( -\frac{a}{2};\;-\frac{b}{2} \right )\Rightarrow C_1(1;\;-2)$

$C_2\left ( -\frac{a}{2};\;-\frac{b}{2} \right )\Rightarrow C_2(0;\;3)$

ora scriviamo l’equazione della retta passante per i due centri:

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

$\frac{x-1}{0-1}=\frac{y+2}{3+2}$

$-x+1=\frac{y+2}{5}$

-5x+5=y+2

y=-5x+3

Quindi il luogo descritto dai centri delle circonferenze del fascio è una retta

Troviamo ora il raggio della circonferenza he ha centro di ascissa 2:

L’ascissa del centro è -a/2 che deve essere uguale a 2; dall’equazione del fascio il coefficiente a del centro in funzione di k è dato da:

$a=-\frac{2}{k+1}$

da cui ricaviamo -a/2 e lo poniamo uguale a 2

$\frac{2}{k+1}\cdot \frac{1}{2}=2$

$\frac{1}{k+1}=2$

1=2k+2 da cui k=-1/2

Sostituiamo nell’equazione di partenza:

x²+y²-2x+4y-2+k(x²+y²-6y+8)=0

x²+y²-2x+4y-2-1/2(x²+y²-6y+8)=0

x²+y²-2x+4y-2-1/2x²-1/2y²+3y-4=0

(1/2)x²+(1/2)y²-2x+7y-6=0

moltiplico ambo i membri per 2 ottenendo:

x²+y²-4x+14y-12=0

Calcoliamo il raggio della circonferenza:

$r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}$

$r=\sqrt{\frac{16}{4}+\frac{196}{4}+12}=\sqrt{65}$

skuolablog Maggio 11, 2021 G.A. Circonferenza, Geometria Analitica Geometria Analitica No Comments »

Trova l’equazione della circonferenza che passa per i punti A(0; -1) e B(-3; 0) e ha il centro sulla retta di equazione 6x-y+4=0

Trovare l’equazione della circonferenze γ1 di centro C(2; 1) e tangente alla retta di equazione 4x-3y=0

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