Trova l’equazione della circonferenza che passa per i punti A(0; -1) e B(-3; 0) e ha il centro sulla retta di equazione 6x-y+4=0
Es. di Geometria Analitica n.394 pag.414
[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Trova l’equazione della circonferenza che passa per i punti A(0; -1) e B(-3; 0) e ha il centro sulla retta di equazione 6x-y+4=0. Traccia per il punto D di intersezione della circonferenza con il semiasse positivo delle x la corda DE parallela all’asse y e trova le equazioni delle tangenti in D e in E alle circonferenze che si intersecano in F. Calcola l’area del quadrilatero CDEF.[/su_note]
Consideriamo l’equazione generica della circonferenza x²+y²+ax+by+c=0 e sostituiamo le coordinate dei due punti dati A e B:
sostituendo A(0; -1) avremo: 0+1+0-b+c=0
sostituendo B(-3; 0) avremo: (-3)²+0-3a+0+c=0
sappiamo inoltre che la circonferenza ha il centro C(-a/2; -b/2) sulla retta di equazione 6x-y+4=0 per cui sostituendo le coordinate del centro al posto della x e della y dell’equazione della retta e otterremo la terza equazione del nostro sistema:
6(-a/2)-(-b/2)+4=0 da cui -3a+b/2+4=0 moltiplico tutto per 2 ottenendo: -6a+b+8=0
Ora possiamo scrivere il nostro sistema:
Calcoliamo c dalla 2^ equazione e b dalla terza equazione:
c=3a-9
b=6a-8
sostituiamo c e b appena trovati nella 1^ equazione ottenendo:
1-(6a-8)+3a-9=0 da cui 1-6a+8+3a-9=0
-3a=0 per cui a=0 sostituendo avremo: c=-9 e b=-8
Ora possiamo scrivere l’equazione della nostra circonferenza:
x²+y²-8y-9=0
Calcoliamo alcuni punti notevoli per poter disegnare la nostra circonferenza:
Calcoliamo le coordinate del centro: C(-a/2; -b/2) da cui C(0; 4)
intersezione della circonferenza con l’asse x poniamo y=0 e otterremo:
x²-9=0 da cui x = ±3
intersezione della circonferenza con l’asse y poniamo x=0 e otterremo:
y²-8y-9=0
Possiamo risolverla con somma e prodotto. I due numeri la cui somma è -8 e il prodotto è -9 sono -9 e +1 per cui la nostra equazione sarà:
(x+1)(x-9)=0 per l’annullamento del prodotto avremo:
x+1=0 da cui x=-1
x-9=0 da cui x=9
Ora possiamo disegnare la circonferenza; dal punto D(3;0) di intersezione con asse positivo delle x tracciamo la corda DE parallela all’asse y ottenendo il punto E(3; 8).
Calcoliamo le rette tangenti alla circonferenza nei punti D ed E con la formula dello sdoppiamento:
Per il punto D avremo che a=0; b=-8; c=-9; xo=0; yo=2
3x-4y-9=0
Per il punto E avremo che a=0; b=-8; c=-9; xo=0; yo=2
3x+8y-4y-32-9=0
3x+4y-41=0
Calcoliamo ora il loro punto di intersezione mettendo a sistema le due rette appena trovate:
Sommando membro a membro otteniamo:
6x-50=0 da cui x=50/6 cioè x=25/3
Sottraendo invece membro a membro otteniamo:
-8y+31=0 da cui y=32/8 cioè y=4
quindi il punto di intersezione avrà per coordinate:
F(25/3; 4)
Dal grafico osserviamo che il quadrilatero CDEF è formato dalla somma dei due triangoli CDE e DEF dove: