Scrivi l’equazione della circonferenza che ha il centro C sull’asse x e passa per i punti A(0; 2) e B(-1/2; -3/2)
Es. di Geometria Analitica n.388 pag.414
[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Scrivi l’equazione della circonferenza che ha il centro C sull’asse x e passa per i punti A(0; 2) e B(-1/2; -3/2). Calcola l’ascissa del punto D di intersezione delle circonferenze con il semiasse positivo delle ascisse e dopo aver trovato l’equazione delle rette tangenti alla circonferenza in A e in D determina le coordinate del loro punto di intersezione P e l’area del quadrilatero APDC.[/su_note]
Consideriamo l’equazione generica della circonferenza x²+y²+ax+by+c=0 e sostituiamo le coordinate dei due punti dati A e B:
sostituendo A avremo: 0+4+0+2b+c=0
sostituendo B avremo: 1/4+9/4-1/2a-3/2b+c=0
sappiamo inoltre che la circonferenza ha il centro sull’asse x per cui la coordinata y del centro è nulla per cui possiamo scrivere:
-b/2=0 da cui otteniamo che b=0
Ora possiamo scrivere il nostro sistema:
Dalla 3^ equazione sappiamo che b=0 che sostituiamo nella 1^ equazione ottenendo:
4+c=0 da cui c=-4
Sostituiamo b e c nella 2^ equazione ottenendo:
1+9−2a-16=0
2a=−6 da cui a=−3
Ora possiamo scrivere l’equazione della nostra circonferenza:
x²+y²−3x−4=0
per calcolare l’ascissa di D mettiamo a sistema l’equazione della circonferenza con y=0 (equazione del semiasse positivo delle ascisse):
Sostituiamo y=0 nell’equazione della circonferenza ottenendo:
x²−3x−4=0
Possiamo risolverla con somma e prodotto. I due numeri la cui somma è −3 e il prodotto è −4 sono −4 e +1 per cui la nostra equazione sarà:
(x+1)(x-4)=0 per l’annullamento del prodotto avremo:
x+1=0 da cui x=−1 da non considerare in quanto la x deve trovarsi nel semiasse positivo delle ascisse
x-4=0 da cui x=4
Quindi il punto D ha per coordinate D(4; 0)
Calcoliamo le rette tangenti alla circonferenza nei punti A e D con la formula dello sdoppiamento:
Per il punto A avremo che a=−3; b=0; c=−4; xo=0; yo=2
Per il punto D avremo che a=−3; b=0; c=−4; xo=4; yo=0
8x-3x-20=0
5x-20=0 da cui x=4
sostituendo x=4 nell’equazione y=3/4x+2 otteniamo: y=3/4·4+2 da cui y=5 per cui il nostro punto di intersezione P avrà per coordinate:
P(4; 5)
A questo punto dall’equazione della circonferenza x²+y²-3x-4=0 calcoliamo le coordinate del centro:
C(-a/2; -b/2) da cui C(+3/2; 0)
Ora riportiamo su un sistema di assi cartesiani i punti A(0; 2), C(3/2; 0), D(4; 0), P(4; 5) e calcoliamo l’are del quadrilatero APDC
L’area del quadrilatero APDC possiamo calcolarla come l’area di ODPK a cui sottraiamo l’area dei due triangoli rettangoli AOC e APK