Considera il fascio di circonferenze di equazione x²+y²+2x-4y+k=0 e studia le sue caratteristiche
Es. di Geometria Analitica n.368 pag.411
[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Considera il fascio di circonferenze di equazione x²+y²+2x-4y+k=0 e studia le sue caratteristiche. Trova poi per quali valori di k si ha una circonferenza: a. degenere; b. passante per il punto P(-2, 1); c. con raggio uguale a 5; d. tangente alla retta di equazione 2x+y-1=0.[/su_note]
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a) Studiamo il fascio di circonferenze calcoliamo il centro e il raggio:
analizzando il risultato del raggio, dobbiamo porre il radicando maggiore o uguale a zero:
5-k≥0 da cui k≤5, per k=5 avremo il raggio r=0 per cui si ha una circonferenza degenere; per k<5 avremo tutte le circonferenze del fascio; per k>5 il radicando risulta negativo e quindi non esistono circonferenze con raggio nel campo reale.
b) circonferenza passante per il punto P(-2, 1)
Sostituiamo le coordinate di P nell’equazione del fascio x²+y²+2x-4y+k=0 ottenendo:
4+1-4-4+k=0
k=3 per cui sostituendo nell’equazione del fascio avremo:
x²+y²+2x-4y+3=0
c) con raggio r=5
poniamo il raggio trovato in funzione di k uguale a 5:
eleviamo al quadrato ambo i membri:
5-k=25 da cui k=−20
sostituendo nell’equazione del fascio avremo:
x²+y²+2x-4y−20=0
d) tangente alla retta 2x+y−1=0
mettiamo a sistema l’equazione del fascio di circonferenze con la retta y=−2x+1
sostituiamo la y della 2^ equazione nella 1^ equazione:
x²+(−2x+1)²+2x−4(−2x+1)+k=0
x²+4x²−4x+1+2x+8x−4+k=0
5x²+6x-3+k=0
Calcoliamo il Delta:
Δ=b²−4ac = 36−20(−3+k) = 36+60−20k = 96−20k
poniamo il Δ = 0 affinché la retta e la circonferenza siano tangenti: