Dato il triangolo di vertici A(-4, 3), B(-6, -3) e C(0, -5), determina

Es. di Geometria Analitica n.387 pag.414

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Dato il triangolo di vertici A(-4, 3), B(-6, -3) e C(0, -5), determina: a. l’equazione della circonferenza circoscritta; b. le equazioni delle tangenti alla circonferenza perpendicolari alla retta di equazione x-2y-9=0.[/su_note]
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Sappiamo dalla geometria che la circonferenza circoscritta ad un triangolo ha il suo centro su un punto notevole denominato CIRCOCENTRO.

Il circocentro è il punto di incontro degli assi del triangolo, quindi per risolvere il problema potremmo procedere in due modi di cui il primo sicuramente più complicato e cioè dobbiamo trovare le coordinate del punto medio di due lati del triangolo poi scrivere l’equazione delle due rette passanti per il punto medio e perpendicolare ai due lati considerati, poi mettere a sistema queste due rette (assi dei due lati), risolvere il sistema e il loro punto di incontro ci darà le coordinate del centro della circonferenza circoscritta al triangolo; a questo punto trovando la distanza dal centro e da uno dei punti (vertici del triangolo) troviamo la lunghezza del raggio e con CENTRO e RAGGIO possiamo scrivere l’equazione della circonferenza.

Per il secondo metodo invece possiamo usare i tre vertici del triangolo che sono anche tre punti per cui passa la circonferenza per cui nell’equazione generica della circonferenza x²+y²+ax+by+c=0 sostituiamo le coordinate x e y dei tre punti ottenendo un sistema di tre equazioni in tre incognite e risolvendo il sistema otteniamo i valori dei coefficienti a, b, c della circonferenza. Noi useremo questo secondo metodo che è un po’ più semplice.

a) Scriviamo ora l’equazione generica della circonferenza:

x²+y²+ax+by+c=0

Imponiamo che passi per i tre punti A(-4, 3), B(-6, -3) e C(0, -5) e scriviamo il sistema:

Calcolo c dalla 3^ equazioni: c=5b–25 e lo sostituisco nella 1^ e 2^ equazione:

Calcolo a dalla 1^ equazione e lo sostituisco nella 2^:

Calcolo b dalla 2^ equazione:

–12b+2b+20=0

–10b+20=0

b=20/10=2

Sostituisco b nella a=2b ottenendo:

a=2·2=4

Sostituisco b nella c=5b–25 ottenendo:

c=5·2–25=-15

Ora possiamo scrivere l’equazione della nostra circonferenza circoscritta ai vertici del triangolo:

x²+y²+4x+2y–15=0

b) Per rispondere al quesito consideriamo la retta data x−2y-9=0 che è secante alla Circonferenza appena trovata; mettiamola in forma esplicita:

Il coefficiente angolare di questa retta è m=1/2; noi stiamo cercando le due rette tangenti alla circonferenza e perpendicolari alla retta di coefficiente m=1/2, quindi le nostre due rette per essere perpendicolari dovranno avere coefficiente angolare m’=–2 (antireciproco di m) e q non noto per cui le equazioni delle nostre rette saranno del tipo: y=–2x+q.

Ora mettiamo a sistema l’equazione della circonferenza appena trovata con la retta di coefficiente m’=–2 e troviamo i valori di q:

Sostituisco la y della 2^ equazione nella 1^ equazione ottenendo:

x²+(−2x+q)²+4x+2(−2x+q)−15=0

x²+4x²−4qx+q²+4x−4x+2q−15=0

5x²−4qx+q²+2q−15=0

Calcoliamo il Delta:

Δ = b²−4ac = 16q²−20(q²+2q−15)

Δ = 16q²−20q²−40q+300

4q²−40q+300=0 divido ambo i membri per 4 ottenendo:

q²−10q+75=0

Calcoliamo il Δ:

Δ = b²−4ac = 100+300=400

Sostituiamo nell’equazione della retta y=−2x+q ottenendo le equazioni delle due rette tangenti alla circonferenza perpendicolari alla retta di equazione x−2y−9=0

per q=−15 ⇒  r: y=−2x−15

per q=5    ⇒  s: y=−2x+5