Nel fascio di circonferenze tangenti alla retta 4x+3y-23=0 nel suo punto di ascissa 2 determina le circonferenze γ1 e γ2
Es. di Geometria Analitica n.401 pag.415
[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]a. Nel fascio di circonferenze tangenti alla retta 4x+3y-23=0 nel suo punto di ascissa 2 determina le circonferenze γ1 e γ2 di raggio 5 e 10 aventi centro rispettivamente nel II e I quadrante.
b. Determina la circonferenza γ3 simmetrica alla circonferenza γ2 rispetto al punto (2; 5).[/su_note]
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Calcoliamo l’ordinata del punto di tangenza avente ascissa x=2 sostituendolo nell’equazione della retta 4x+3y-23=0 e ottenendo:
8+3y-23=0
y=5
quindi il punto di tangenza T(2, 5)
Applichiamo la formula per calcolare il fascio di circonferenze tangenti alla retta ax+by+c=0 passante per il punto P(xo, yo):
(x-xo)²+(y-yo)²+k(ax+by+c)=0
dove a=4, b=3, c=-23, xo=2, yo=5 per cui sostituendo avremo:
(x-2)²+(y-5)²+k(4x+3y-23)=0
x²-4x+4+y²-10y+25+k(4x+3y-23)=0
x²+y²-4x-10y+29+k(4x+3y-23)=0
x²+y²-4x-10y+29+4kx+3ky-23k=0
x²+y²+(4k-4)x+(3k-10)y+29-23k=0
Scriviamo ora la formula per il calcolo del raggio della 1^ circonferenza:
Imponiamo il raggio uguale a 5 e poi eleviamo al quadrato ambo i membri:
16k²-32k+16+9k²-60k+100+92k-116-100=0
25k²-100=0
k²=4
k=±2
Sostituiamo k=-2 nell’equazione: x²+y²-4x-10y+29+k(4x+3y-23)=0 ottenendo:
x²+y²-4x-10y+29-8x-6y+46=0
x²+y²-12x-16y+75=0
Calcoliamo le coordinate del centro C(-a/2, -b/2)
C(6, 8) si troverebbe nel I quadrante e quindi non accettabile.
Sostituiamo k=2 nell’equazione: x²+y²-4x-10y+29+k(4x+3y-23)=0 ottenendo:
x²+y²-4x-10y+29+8x+6y-46=0
x²+y²+4x-4y-17=0 equazione della circonferenza γ1
Calcoliamo le coordinate del centro C(-a/2, -b/2)
C(-2, 2) si trova nel II quadrante e quindi è accettabile.
Calcoliamo ora il raggio della 2^ circonferenza
Imponiamo il raggio uguale a 10 e poi eleviamo al quadrato ambo i membri:
16k²-32k+16+9k²-60k+100+92k-116-400=0
25k²-400=0
k²=16
k=±4
Sostituiamo k=-4 nell’equazione: x²+y²-4x-10y+29+k(4x+3y-23)=0 ottenendo:
x²+y²-4x-10y+29-16x-12y+92=0
x²+y²-20x-22y+121=0 equazione della circonferenza γ2
Calcoliamo le coordinate del centro C(-a/2, -b/2)
C(10, 11) si trova nel I quadrante e quindi è accettabile.
Rispondiamo ora alla domanda b) per cui dobbiamo calcolare la circonferenza simmetrica a γ2 rispetto al punto P(2, 5)
Dalla teoria sappiamo che la simmetria centrale si ha dal seguente sistema:
Sostituiamo le coordinate del punto P(2, 5) al posto di xo e yo ottenendo:
Sostituiamo x’ e y’ al posto di x e y nell’equazione di γ2: x²+y²-20x-22y+121=0 ottenendo: