In un sistema di assi cartesiani, consideriamo tre punti A(2; 4), B(6, 2) e C(1, 1). Calcolare le coordinate dell’ortocentro del triangolo passante per i tre punti dati
[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]In un sistema di assi cartesiani, consideriamo tre punti A(2; 4), B(6, 2) e C(1, 1). Calcolare le coordinate dell’ortocentro del triangolo passante per i tre punti dati.[/su_note]
Per prima cosa rappresentiamo i tre punti nel piano cartesiano ed evidenziamo il triangolo ABC. Sappiamo dalla geometria che l’ortocentro è il punto di intersezione delle tre altezze relative ai tre lati del triangolo, pertanto tracciamo le tre altezze partendo dai vertici del triangolo.
- I segmenti AH, CK e BL si intersecheranno nel punto O che risulta essere l’ortocentro del triangolo.
Per calcolare le coordinate del punto O possiamo scrivere l’equazione delle rette AH e CK, metterle a sistema e la soluzione del suddetto sistema ci darà le coordinate del punto O intersezione delle due rette.
Come possiamo calcolare l’equazione della retta AH?
Dal nostro grafico possiamo notare che tale retta passa per il punto A e risulta perpendicolare alla retta CB; quindi la retta cercata ha come coefficiente angolare l’antireciproco del coefficiente angolare di CB.
Ma cos’è l’antireciproco di un numero? Non è altro che il reciproco del numero considerato con il segno opposto. Ad esempio l’antireciproco di -2 = –(–1/2)=1/2.
Calcoliamo ora il coefficiente angolare della retta CB con la formula:
Il coefficiente angolare m della retta AH essendo l’antireciproco di quello della retta CB sarà:
Pertanto partendo dall’equazione del fascio di rette avente il centro nel punto A:
dove xA e yA sono le coordinate del punto A mentre m=–5 è il coefficiente angolare della retta AH per cui possiamo scrivere:
Procedendo in maniera analoga possiamo calcolare l’equazione della retta CK.
Dal nostro grafico possiamo notare che tale retta passa per il punto C e risulta perpendicolare alla retta AB; quindi la retta cercata ha come coefficiente angolare l’antireciproco del coefficiente angolare di AB.
Calcoliamo ora il coefficiente angolare della retta AB con la formula:
Il coefficiente angolare m della retta CK essendo l’antireciproco di quello della retta AB sarà:
Pertanto partendo dall’equazione del fascio di rette avente il centro nel punto C:
dove xC e yC sono le coordinate del punto C mentre m=2 è il coefficiente angolare della retta CK per cui possiamo scrivere:
Ora possiamo affermare che il punto di intersezione delle due rette AH e CK rappresenta il punto O cioè l’ortocentro che stiamo cercando per cui non ci resta che mettere a sistema l’equazione delle due rette AH e CK, risolvere il sistema e il risultato ci darà le coordinate del punto O (ortocentro).
Nel sistema di equazioni appena scritto possiamo affermare che essendo uguali i primo membri (y=y) lo saranno anche i secondi membri:
sostituendo il risultato della x appena ottenuto nella seconda equazione del sistema avremo:
Quindi il nostro ortocentro avrà per coordinate: