Determina l’equazione della retta appartenente al fascio di equazione (1+k)x+(1+k)y+3k-1=0

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[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Determina l’equazione della retta appartenente al fascio di equazione (1+k)x+(1+k)y+3k-1=0: a. passante per l’origine; b. passante per (-1; -5); c. che interseca l’asse delle ascisse per x=1[/su_note]

Consideriamo l’equazione del fascio:
(1+k)x+(1+k)y+3k-1=0

eseguiamo tutte le moltiplicazioni ottenendo:
x+kx+y+ky+3k-1=0

mettiamo in evidenza il parametro k ottenendo:
x+y-1+k(x+y+3)=0

abbiamo quindi ottenuto le due rette r ed s che danno origine al nostro fascio:
r: x+y-1=0
s: x+y+3=0

Calcoliamo i coefficienti angolari delle due rette:

essendo i coefficienti angolari di r ed s uguali significa che le due rette originatrici del fascio sono parallele e pertanto il fascio è improprio.

a. scriviamo ora l’equazione della retta del fascio passante per l’origine O(0;0) usando la formula:
y-yo=m(x-xo)
y-0=-1(x-0)
y=-x
x+y=0

b. scriviamo ora l’equazione della retta del fascio passante per il punto di coordinate (-2;-5) usando la formula:
y-yo=m(x-xo)
y-(-5)=-1(x-(-2))
y+5=-x-2
x+y+7=0

c. scriviamo infine l’equazione della retta del fascio che interseca l’asse delle ascisse nel punto x=1, quindi il punto per cui passa la retta avrà per coordinate (1; 0).

Usando sempre la formula seguente avremo:
y-yo=m(x-xo)
y-0=-1(x-1)
y=-x+1
x+y-1=0