In un sistema di assi cartesiani, consideriamo tre punti A(2; 4), B(6, 2) e C(1, 1). Calcolare le coordinate dell’ortocentro del triangolo passante per i tre punti dati

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]In un sistema di assi cartesiani, consideriamo tre punti A(2; 4), B(6, 2) e C(1, 1). Calcolare le coordinate dell’ortocentro del triangolo passante per i tre punti dati.[/su_note]

Per prima cosa rappresentiamo i tre punti nel piano cartesiano ed evidenziamo il triangolo ABC. Sappiamo dalla geometria che l’ortocentro è il punto di intersezione delle tre altezze relative ai tre lati del triangolo, pertanto tracciamo le tre altezze partendo dai vertici del triangolo.

• I segmenti AH, CK e BL si intersecheranno nel punto O che risulta essere l’ortocentro del triangolo.
  Per calcolare le coordinate del punto O possiamo scrivere l’equazione delle rette AH e CK, metterle a sistema e la soluzione del suddetto sistema ci darà le coordinate del punto O intersezione delle due rette.

Come possiamo calcolare l’equazione della retta AH?
Dal nostro grafico possiamo notare che tale retta passa per il punto A e risulta perpendicolare alla retta CB; quindi la retta cercata ha come coefficiente angolare l’antireciproco del coefficiente angolare di CB.
Ma cos’è l’antireciproco di un numero? Non è altro che il reciproco del numero considerato con il segno opposto. Ad esempio l’antireciproco di -2 = –(–1/2)=1/2.

Calcoliamo ora il coefficiente angolare della retta CB con la formula:

Il coefficiente angolare m della retta AH essendo l’antireciproco di quello della retta CB sarà:

Pertanto partendo dall’equazione del fascio di rette avente il centro nel punto A:

dove xA e yA sono le coordinate del punto A mentre m=–5 è il coefficiente angolare della retta AH per cui possiamo scrivere:

Procedendo in maniera analoga possiamo calcolare l’equazione della retta CK.
Dal nostro grafico possiamo notare che tale retta passa per il punto C e risulta perpendicolare alla retta AB; quindi la retta cercata ha come coefficiente angolare l’antireciproco del coefficiente angolare di AB.

Calcoliamo ora il coefficiente angolare della retta AB con la formula:

Il coefficiente angolare m della retta CK essendo l’antireciproco di quello della retta AB sarà:

Pertanto partendo dall’equazione del fascio di rette avente il centro nel punto C:

dove xC e yC sono le coordinate del punto C mentre m=2 è il coefficiente angolare della retta CK per cui possiamo scrivere:

Ora possiamo affermare che il punto di intersezione delle due rette AH e CK rappresenta il punto O cioè l’ortocentro che stiamo cercando per cui non ci resta che mettere a sistema l’equazione delle due rette AH e CK, risolvere il sistema e il risultato ci darà le coordinate del punto O (ortocentro).

Nel sistema di equazioni appena scritto possiamo affermare che essendo uguali i primo membri (y=y) lo saranno anche i secondi membri:

sostituendo il risultato della x appena ottenuto nella seconda equazione del sistema avremo:

Quindi il nostro ortocentro avrà per coordinate: