Equazioni di primo grado – Scuola media – teoria

LE IDENDITA’

Un’idendità è un’uguaglianza tra due espressioni numeriche o letterali verificata per qualunque valore attribuito alle lettere che vi compaiono.

Ad esempio la seguente uguaglianza è un’idendità:

Infatti sostituendo ad a e b un qualunque valore sia al 1° che al 2° membro l’idendità sarà sempre verificata.

LE EQUAZIONI

Un’equazione è un’uguaglianza contenente dei termini incogniti verificata solo per alcuni valori attribuiti alle incognite.

Ad esempio è un’equazione la seguente uguaglianza:

Se x=0 avremo 2·0 +3 = 7  l’uguaglianza non è verificata.

Se x=2 avremo 2·2 +3 = 7  l’uguaglianza è verificata.

In un’equazione:
– le espressioni a sinistra e a destra dell’uguale sono dette rispettivamente primo membro e secondo membro;
– le lettere nelle espressioni prendono il nome di incognite;
– i termini senza lettere si chiamano termini noti.

Risolvere un’equazione vuol dire trovare i valori che, sostituiti alle incognite, rendono vera l’uguaglianza. Questi valori si chiamano soluzioni o radici dell’equazione. Le soluzioni di un’equazione possono appartenere a un qualunque insieme numerico e ogni equazione può avere una, nessuna o più soluzioni.

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Addizionando o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione si ottiene un’equazione equivalente alla data.

Dal primo principio si ricavano due utili conseguenze:
Legge del trasporto:
In un’equazione un qualsiasi termine può essere trasportato da un membro all’altro cambiato di segno.
Legge dell’elisione:
se in entrambi i membri di un’equazione sono presenti due termini uguali, questi possono essere eliminati.

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione diversi da 0, si ottiene un’equazione equivalente alla data.

Dal secondo principio si ricavano due utili conseguenze:
Cambiamento di segno:
Cambiando il segno a ciascun termine di un’equazione se ne ottiene un’altra equivalente.
Riduzione a forma intera:
Un’equazione a termini frazionari può essere trasformata in un’equazione equivalente a termini interi moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. di tutti i denominatori.

LA RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE

Un’equazione di primo grado a una incognita si dice ridotta in forma normale se è formata solo da due termini: al primo membro il termine con l’incognita e al secondo membro il termine noto.

in simboli:

ax = b   dove:

a  coefficiente

x  incognita

b  termine noto

Visto che ogni equazione può essere ricondotta a una equivalente in forma normale, ci basta saper risolvere un’equazione in forma normale, cioè un’equazione del tipo ax = b.

Si possono avere tre casi: