Circonferenza e Cerchio (da completare)

DEFINIZIONE DI CIRCONFERENZA	La circonferenza è una linea chiusa formata da tutti i punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto interno O. Questo punto O si chiama centro della circonferenza e la distanza fra i punti della circonferenza e il centro si chiama raggio della circonferenza.
	Si dice circonferenza il luogo dei punti del piano che hanno da un punto dato, detto centro, distanza congruente a un dato segmento, detto raggio solitamente indicato con r.
	Un qualsiasi punto del piano a dove giace la circonferenza può essere interno, esterno o appartenente ad essa: 1) si dice *interno* se la sua distanza dal centro è minore del raggio: PO < r 2) si dice che *appartiene alla circonferenza* se la sua distanza dal centro è uguale al raggio: QO = r 3) si dice *esterno* se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio: RO > r.
DEFINIZIONE DI CERCHIO
	Il cerchio è la parte di piano racchiusa da una circonferenza che forma il contorno; esso è quindi costituito dalla circonferenza stessa e da tutti i punti interni ad essa e il centro e il raggio della circonferenza sono anche il centro e il raggio del cerchio.
PARTI DELLA CIRCONFERENZA
	*Si chiama arco* la parte limitata da due punti A e B, detti estremi dell’arco, e si indica con AB. Si chiama corda ogni segmento che unisce due punti della circonferenza. Ogni corda passante per il centro si chiama diametro.**
TEOREMA n 1	Ogni diametro è maggiore di ogni corda non passante per il centro.
TEOREMA n 2	La perpendicolare a una corda nel suo punto medio passa per il centro della circonferenza e, viceversa, la retta che unisce il centro col punto medio di una corda è perpendicolare alla corda. Oppure: La perpendicolare condotta dal centro a una qualsiasi corda divide tale corda in due parti congruenti; essa è quindi asse della corda.
TEOREMA n 3	Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.
TEOREMA n 4	Due corde congruenti della stessa circonferenza (o di circonferenze congruenti) hanno distanze dal centro congruenti.
TEOREMA n 5	Due corde della stessa circonferenza (o di circonferenze congruenti) che hanno distanze dal centro congruenti, sono congruenti.
TEOREMA n 6	Archi congruenti sottendono corde congruenti
TEOREMA n 7	SE una corda è minore di un’altra corda della stessa circonferenza (o di una circonferenza congruente), la distanza dal centro della prima è maggiore dalla distanza dal centro della seconda.
TEOREMA n 8	Se la distanza dal centro di una corda è maggiore della distanza dal centro di un’altra corda della stessa circonferenza ( o di una circonferenza congruente), la prima corda è minore della seconda.
PARTI DELLA CERCHIO
POSIZIONI RECIPROCHE POSSIBILI FRA RETTE E CIRCONFERENZE	Una retta ed una circonferenza giacenti sullo stesso piano possono essere tra loro secanti, tangenti o esterne. Se una retta e una circonferenza hanno esattamente due punti in comune, la retta è detta secante e in tal caso la sua distanza dal centro è minore del raggio. Se una retta e una circonferenza hanno uno e un solo punto in comune la sua distanza dal centro è uguale al raggio. La retta è tangente alla circonferenza e il punto in comune si chiama punto di tangenza. Tangente e raggio sono perpendicolari. Se una retta e una circonferenza non hanno punti in comune, la retta si dice esterna alla la sua distanza dal centro è maggiore del raggio.
POSIZIONI RECIPROCHE POSSIBILI DI DUE CIRCONFERENZE
	Se la distanza dei centri è maggiore della somma dei raggi, le circonferenze sono esterne e non hanno alcun punto in comune. OO’ > r + r’
	2. Se la distanza dei centri è congruente alla somma dei raggi, le circonferenze sono tengenti e hanno uno e un solo punto in comune. La perpendicolare alla congiungente i centri nel punto comune è tangente alle circonferenze. OO’=r + r’
	3. Se la distanza dei centri è minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza, le circonferenze sono secanti e hanno in comune due punti. R – r’< OO’<r +r’
	4. Se la distanza dei centri è uguale alla differenza dei raggi, le due circonferenze sono tangenti interamente e hanno in comune uno e un solo punto. Come nel caso 2, la retta perpendicolare alla congiungente dei centri nel punto comune è tangente alle due circonferenze. OO’= r – r’
	5. Se la distanza dei centri è minore della differenza dei raggi, le due circonferenze sono una interna all’altra e non hanno punti in comune. OO’< r – r’
ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA
ANGOLO AL CENTRO	Si chiama angolo al centro di una circonferenza ogni angolo avente il vertice coincidente con il centro della circonferenza. Particolari angoli al centro sono: a = 90° (quello convesso formato da due raggi perpendicolari fra loro) a = a’ = 180° (formati da due raggi adiacenti = diametro) a = 360° (quello formato da due raggi sovrapposti)
ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA	Si chiama angolo alla circonferenza ogni angolo avente il vertice sulla circonferenza e i cui lati possono essere entrambi secanti oppure uno secante e l’altro tangente alla circonferenza. Un particolari angolo alla circonferenza e quello in cui un lato è secante e coincide con il diametro e l’altro è tangente e i lati sono perpendicolari tra loro.
PROPRIETA’	Se in una circonferenza consideriamo un arco qualunque possiamo osservare che: esiste un solo angolo al centro che insiste su tale arco; esistono infiniti angoli alla circonferenza che insistono su tale arco; a ogni angolo alla circonferenza corrisponde un solo angolo al centro; a ogni angolo al centro corrispondono infiniti angoli alla circonferenza.
PROPRIETA’ DEGLI ANGOLI AL CENTRO E ALLA CIRCONFERENZA	angoli al centro che insistono su archi congruenti sono congruenti; in una qualunque circonferenza ogni angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco; tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tra loro congeuenti; angoli alla circonferenza che insistono su archi congruenti sono tra loro congruenti; in una circonferenza ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è un angolo retto; tutti i triangoli aventi un vertice appartenente ad una circonferenza e un lato coincidente con un diametro della circonferenza stessa sono triangoli rettangoli.
POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
POLIGONI INSCRITTI	un poligono si può inscrivere in una circonferenza se gli assi di tutti i suoi lati si incontrano in un unico punto (circocentro) che è il centro della circonferenza; ovvero: un poligono si può inscrivere in una circonferenza avente il centro coincidente con il suo circocentro che è unico;
POLIGONI CIRCOSCRITTI	un poligono si può circoscrivere a una circonferenza se le bisettrici di tutti i suoi angoli si incontrano in un unico punto (incentro) che sarà il centro della circonferenza; ovvero: un poligono si può circoscrivere a una circonferenza avente il centro coincidente con il suo incentro che è unico
TRIANGOLI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI	Triangolo acutangolo: circocentro e incentro sono interni al triangolo; Triangolo rettangolo: circocentro è il punto medio dell’ipotenusa; incentro interno al triangolo; Triangolo ottusangolo: circocentro è esterno; incentro interno al triangolo;
QUADRILATERI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI	Un quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza se gli angoli sono supplementari (la loro somma è 180°); in esso esiste ed è unico il circocentro; Un quadrilatero può essere circoscritto a una circonferenza se la somma dei lati opposti è uguale; in esso esiste ed è unico l’incentro.
LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA
	Il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza qualsiasi e la lunghezza del suo diametro è costante. Indicando questa costante con p (pi greco), potremmo scrivere: ovvero La lunghezza della circonferenza si ottiene moltiplicando la lunghezza del suo diametro per p = 3,14
Le formule saranno:	(formula diretta) (formula inversa) Ricordando che d = 2r avremo: e
LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CIRCONFERENZA
	Da questa proporzione possiamo ricavare un qualsiasi termine conoscendo gli altri: o anche o ancora
CALCOLO AREE
AREA DEL CERCHIO	essendo C=2πr sostituendo avremo da cui Il rapporto fra l’area di un cerchio ed il quadrato della misura del suo raggio è costante e tale costante è Da cui avremo: l’area di un cerchio si ottiene moltiplicando il quadrato della misura del raggio per . (formula diretta) (formula inversa)
AREA DELLA CORONA CIRCOLARE	L’area della corona circolare è data dalla differenza fra l’area del cerchio maggiore e l’area del cerchio minore: =
AREA DEL SETTORE CIRCOLARE	(con A_C = Area Circonferenza e A_S = Area settore circolare) Da cui ricaviamo: Dalle due uguaglianze: Essendo uguali i secondi membri saranno uguali anche i primi per cui ricaviamo : da cui sostituendo da cui = L’area di un settore circolare, si può calcolare moltiplicando la misura della lunghezza dell’arco che lo limita per la misura della lunghezza del raggio della circonferenza e dividendo tale prodotto per 2.