Problemi di ripartizione semplice

Un altro problema di applicazione pratica della proporzionalità si ha nei problemi diretti detti di ripartizione semplice. Essi consistono nel dividere una grandezza (lunghezza di una stoffa, peso di una merce, superficie di un terreno, somma di denaro) in varie parti direttamente o inversamente proporzionali a un determinato gruppo di numeri.
Come al solito esaminiamo il modo di procedere nella risoluzione di alcuni esempi.
Consideriamo prima il caso diretto e poi quello inverso.

Problemi di ripartizione semplice diretta

Una certa somma, 324 euro, deve essere divisa fra tre amici in modo tale che ognuno ne prenda una parte direttamente proporzionale ai numeri 3, 4 e 5. Quando penderà ciascun amico?

Risoluzione
Indichiamo con x, y e z la parte che deve avere ciascun amico e sapendo che queste parti devono essere direttamente proporzionali ai numeri 3, 4 e 5, possiamo scrivere la seguente uguaglianza di rapporti:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}\;\;\mbox{ o anche: } \;\; x:3=y:4=z:5$

Ricordando la proprietà delle catene di rapporti, otteniamo le tre proporzioni seguenti:

$(x+y+z)\; :\; (3+4+5) = x\; :\: 3$

$(x+y+z)\; :\; (3+4+5) = y\; :\; 4$

$(x+y+z)\; :\; (3+4+5) = z\; :\; 5$

e da queste osservando che x+y+z non è altro che tutta la cifra che bisogna dividere, otteniamo:

$324\; :\; 12 = x\; :\; 3$

$324\; :\; 12 = y\; :\; 4$

$324\; :\; 12 = z\; :\; 5$

Risolvendo queste tre proporzioni troveremo le somme spettanti ai tre amici e avremo risolto il nostro problema

$x=\frac{{324}\cdot{3}}{12}=81$

$y=\frac{{324}\cdot{4}}{12}=108$

$z=\frac{{324}\cdot{5}}{12}=135$

Risposta

Ciascun amico prenderà rispettivamente 81 €, 108 € e 135 €.

ESEMPIO

Un terreno di 3720 m² deve essere diviso in tre parti direttamente proporzionali a 1/2, 1/3 e 1/5. Quale sarà la superficie di ogni parte?

Indicando con x, y e z le tre parti potremmo scrivere:

$x\;:\;\frac{1}{2}=y\;:\;\frac{1}{3}=z\;:\;\frac{1}{5}\;\;\mbox{ da cui avremo:}$

$(x+y+z)\;:\;(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5})=x\;:\;\frac{1}{2}$

$(x+y+z)\;:\;(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5})=y\;:\;\frac{1}{3}$

$(x+y+z)\;:\;(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5})=z\;:\;\frac{1}{5}$

$\mbox{Essendo: }\;\; (x+y+z) = 3720 \mbox{ e } (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}) = \frac{31}{30}\;\;\mbox{ avremo:}$

$3700\;:\;\frac{31}{30}=x\;:\;\frac{1}{2}$

$3700\;:\;\frac{31}{30}=y\;:\;\frac{1}{3}$

$3700\;:\;\frac{31}{30}=z\;:\;\frac{1}{5}\;\;\mbox{ quindi avremo:}$

$x=3700\cdot\frac{1}{2}\;:\;\frac{31}{30}=3700\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{30}{31}=1800$

$y=3700\cdot\frac{1}{3}\;:\;\frac{31}{30}=3700\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{30}{31}=1200$

$z=3700\cdot\frac{1}{5}\;:\;\frac{31}{30}=3700\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{30}{31}=720$

Problemi di ripartizione semplice inversa

Una vincita al gioco di 1580 euro va divisa fra tre giocatori in modo inversamente proporzionale ai numeri 5, 8 e 3. Quanto riceverà ciascun giocatore?

Risoluzione
Un problema di ripartizione inversa si riconduce ad un problema di ripartizione diretta con questa osservazione: se la parte di vincita x, y e z che riceverà ogni giocatore deve essere inversamente proporzionale ai numeri 5, 8 e 3 avremo:

$x\cdot{5}=y\cdot{8}=z\cdot{3}\mbox{ prodotto costante ovvero }x\;:\;\frac{1}{5}=y\;:\;\frac{1}{8}=z\;:\;\frac{1}{3}$

Ciò equivale a dire che x, y e z saranno direttamente proporzionali ai numeri 1/5, 1/8 e 1/3. Risolviamo quindi la catena di rapporti:

$x\;:\;\frac{1}{5}=y\;:\;\frac{1}{8}=z\;:\;\frac{1}{3}$

$(x+y+z)\;:\;(\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{3})=x\;:\;\frac{1}{5}$

$(x+y+z)\;:\;(\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{3})=x\;:\;\frac{1}{8}$

$(x+y+z)\;:\;(\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{3})=x\;:\;\frac{1}{3}$

da cui:

$1580\;:\;\frac{79}{120}=x\;:\;\frac{1}{5}$

$1580\;:\;\frac{79}{120}=x\;:\;\frac{1}{8}$

$1580\;:\;\frac{79}{120}=x\;:\;\frac{1}{3}$

Otteniamo:

$x=1580\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{120}{79}=480$

$x=1580\cdot\frac{1}{8}\cdot\frac{120}{79}=300$

$x=1580\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{120}{79}=800$

Temi svolti

La percentuale

2 Commentsto Problemi di ripartizione semplice

Fede ha detto:

21/05/2014 alle 06:18

Ciao,
ma se bisogna ripartire una somma in maniera inversamente proporzionale a somme percepite, e qualcuno dei soggetti non ha percepito nulla come si fa?
Esempio: la somma è 200€ e bisogna ripartirla tra 5 soggetti che hanno guadagnato rispettivamente: 2€, 1€, 0€ ,3€ e 5€ in modo che alla fine ciascuno abbia gli stessi euro in mano.(chi meno ha avuto, deve avere di più dalla ripartizione della somma disponibile). Il problema con lo 0 è incorrere in divisioni e moltiplicazioni….

Rispondi
- skuolablog ha detto:
  
  16/09/2014 alle 11:21
  
  Carissima Fede,
  ti chiedo scusa per il ritardo della mia risposta ma provo a farlo non da professore di matematica (in quanto non lo sono) ma da papà che aiuta i propri figli nello svolgimento dei compiti scolastici.
  Premetto subito che secondo il mio punto di vista chi ha guadagnato 0 DEVE ricevere ZERO e questo lo dimostra anche la soluzione che provo ad adottare:
  
  Consideriamo le 5 persone x, y, z, j e k che hanno guadagnato rispettivamente 2, 1, 0, 3 e 5 €.
  Applicando la regola della proporzionalità avremo:
  (x+y+z+j+k):(2+1+0+3+5)=x:2
  (x+y+z+j+k):(2+1+0+3+5)=y:1
  (x+y+z+j+k):(2+1+0+3+5)=z:0
  (x+y+z+j+k):(2+1+0+3+5)=j:3
  (x+y+z+j+k):(2+1+0+3+5)=k:5
  
  x+y+z+j+k=200€ (totale da distribuire)
  
  per cui avremo:
  200:11=x:2
  200:11=y:1
  200:11=z:0
  200:11=j:2
  200:11=k:2
  
  calcolando le incognite avremo:
  x=(200*2)/11=36,36€
  y=(200*1)/11=18,18€
  z=(200*0)/11=0€
  j=(200*3)/11=54,55€
  k=(200*5)/11=90,91€
  
  sommando infatti 36,36+18,18+0+54,55+90,91=200€ che era la somma da ripartire.
  
  Saluti.
  P.S. se qualcuno ha altre soluzioni ci faccia sapere.
  
  Rispondi

SkuolaBlog

BLOG DIDATTICO PERSONALE

Problemi di ripartizione semplice